Линейные обратные задачи в геофизике

Содержание курса 1. Введение. Прямые и обратные задачи. Классификация обратных задач. 2. Элементы линейной алгебры и векторного анализа 3. Современные способы решения СЛАУ. 4. Линейные обратные задачи геофизики

Литература Геофизика : учебник для студ. вузов / под ред. В. К. Хмелевского. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 2007. — 318 с. Ильин В. А. Линейная алгебра : Учебник для студ. физ. специальностей и специальности "Прикладная математика" / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — 5 -е изд. , стер. — М. : Физматлит, 2002. — 317 с Баскаков А. Г. Лекции по алгебре : учебное пособие / Баскаков А. Г. — Воронеж : Воронеж. гос. ун-т, 2004. — 306 с. Яновская Т. Б. Обратные задачи геофизики : учебное пособие / Т. Б. Яновская, Л. Н. Порохова ; С. -Петерб. гос. ун-т. — 2 -е изд. — СПб : Изд-во С. -Петерб. ун-та, 2004. — 214 с

Интернет-источники http: //geofiziki. ru http: //geo. web. ru Malcolm. Sambridge@anu. edu. au

Тема 1 Введение. Прямые и обратные задачи. Классификация обратных задач.

Прямые задачи В математической физике под прямыми задачами понимаются задачи моделирования физических процессов Физических полей Физических явлений

Прямые задачи Для решения прямой задачи в общем случае необходимо задать: область изучения уравнение, описывающее процесс (поле) начальные условия на границе

Логическая схема интерпретации геофизических данных Геофизическое поле геофизическая Прямая задача Обратная задача Физическая модель источника петрофизическая Обратная задача Прямая задача Геологическая модель источника

Прямая задача Модель Геофизическое поле Обратная задача

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Прямая задача – определение аномального поля по заданному распределению параметров источника поля. Обратная задача – определение параметров источника по заданному распределению поля.

Особенности обратных задач При решении обратной задачи происходит обращение причинно- следственных связей Каждой прямой задаче может быть сопоставлено много вариантов обратных задач. Теория обратных задач развита значительно меньше, чем теория прямых задач.

Прямые задачи корректны Обратные некорректны

Постановка прямых и обратных задач

Математическая постановка обратной задачи

Дано: Характеристики геофизических полей Полученные в результате Непосредственных наблюдений Предварительной обработки Наблюденных процессов Геофизические данные

Дано: Геофизические данные Дискретные N- мерный вектор yi i=1, 2, …. . N Непрерывные Непрерывная функция у(t) – вектор в Бесконечномерном пространстве

Дано: Сведения об ошибке наблюдений Закон распределения Математическое ожидание Дисперсия ….

Известно: Связь физических полей с физическими параметрами Земли и характеристиками источника, которые являются функциями координат

Характеристики источника m(r) Модель Земли Пространство моделей Дискретные M - мерный вектор m i=1, 2, …. . M, компоненты которого различные Непрерывные физические параметры среды Непрерывная функция координаты m(r) Непрерывные модели - дискретизируют

Дискретизация непрерывных моделей

Известно: Связь физических полей с физическими параметрами Земли и характеристиками источника, которые являются функциями координат Известен оператор, позволяющий по заданной модели m(r) вычислить значения характеристик поля Y=F(m) F – оператор решения прямой задачи

Дополнительно известно: Априорная информация – априорные ограничения на модель Класс моделей Пределы изменения некоторых параметров Значения функции m (r) в некоторой части исследуемой области

Требуется: Извлечь информацию о модели, содержащуюся в заданной выборке наблюдений у – найти m(r) Найти оператор F-1(m) – оператор обратный F(m)

Прямая и обратная задача Дано модель m – требуется рассчитать геофизическое поле - вектор y – прямая задача (the forward problem) Дано геофизическое поле, представленное вектором y – требуется найти модель m, которые создают геофизическое поле–обратная задача (the inverse problem ) Mark 2

F(m) Прямая задача Модель Геофизическое поле m(r) y Обратная задача F-1(m)

Типы операторов прямой задачи Нелинейная дискретная y = f(m) m и y – векторы определенной длины F-функция Линейная дискретная y = Fm m - вектор неизвестных размерности M y - вектор данных размерности N F – матрица M x N

Типы операторов прямой задачи Линейная и непрерывная G(x) - оператор f(s, x)- ядро оператора. Нелинейная и непрерывная f(s, x, m(x)) - нелинейная функция неизвестной функции m(x)

Типы обратных задач Линеаризованная Δy =FΔm Приращение параметров модели линейным образом зависят от приращения поля.

Определите тип оператора прямой задачи Построение отражающей границы по годографу отраженной волны Определение распределения плотности по данным гравиметрии