Линейные формы Определение 1 Линейной формой или

Линейные формы

Определение 1. Линейной формой (или линейной функцией) на векторном пространстве V называется всякая функция h: V –> K, обладающая следующими свойствами 1) h(x+y) = h(x) + h(y); 2) h(rx) = rh(x). Иными словами, линейная форма – это линейное отображение пространства V в поле K, рассматриваемое как (одномерное) векторное пространство.

Пример 1. Как доказывается в курсе аналитической геометрии, функция h(x) = (s, x) (s – вектор из Е 3) является линейной функцией на пространстве Е 3.

Пример 2. Функция h(f) = f(xo) (xo – элемент из X) является линейной функцией на пространстве F(X, K) функций на множестве X со значениями в поле K.

Пример 3. Функция h(f) = f / (xo) (xo – элемент из R) является линейной функцией на пространстве C 1 (R) дифференцируемых функций на вещественной прямой.

Пример 4. является линейной функцией на пространстве C[a, b] непрерывных функций на отрезке [a, b].

Пример 5. Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов. След матрицы X обозначается через tr. X. Функция h(X) = tr. X является линейной функцией на пространстве Ln(K) квадратных матриц.

Если x 1, x 2, …, xn – координаты вектора x в базисе {e 1, e 2, …, en}, то h(x) = a 1 x 1+a 2 x 2+…+anxn, (1) где ai = h(ei). Таким образом, линейная функция однозначно определяется своими значениями на базисных векторах, называемых ее коэффициентами в данном базисе. Коэффициенты могут быть произвольными: для любых a 1, a 2, …, an из поля К функция h, определяемая формулой (1), является линейной.

Линейные функции образуют подпространство в пространстве F(V, K) всех функций на V со значениями в K. Определение 2. Пространство линейных функций на V называется сопряженным пространством по отношению к V и обозначается через V*.

Пусть {e 1, e 2, …, en} – базис пространства V. Линейные функции g 1, g 2, …, gn из V*, определяемые равенствами gi (x) = xi , называются координатными функциями относительно базиса {e 1, e 2, …, en}. Они составляют базис пространства V*, который называется сопряженным базисом по отношению к {e 1, e 2, …, en}.

Из определения сопряженного базиса следует, что для любого вектора x из V x = g 1(x)e 1 + g 2(x)e 2 +…+ gn(x)en, (2)

Сопряженный базис может быть также определен условиями

Из предыдущего следует, что dim V = dim V*, так что пространства V и V* изоморфны, хотя между ними не существует никакого естественного (выделенного) изоморфизма. Однако второе сопряженное пространство V** = (V*)* оказывается естественно изоморфным пространству V.

Из определения операций в пространстве V* следует, что для любого вектора x из V функция fx на V*, определенная по формуле fx(h) = h(x), является линейной.

Теорема 1. Отображение x –> fx является изоморфизмом пространства V на пространство V**. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения линейных функций следует, что fx+y = fx + fy и frx = r fx. Остается проверить, что отображение x –> fx биективно.

Отображение x –> fx – биективно ? Пусть {e 1, e 2, …, en} – базис пространства V и {g 1, g 2, …, gn} – сопряженный базис пространства V*. Тогда

Отображение x –> fx – биективно ? Отображение x –> fx переводит вектор с координатами x 1, x 2, …, xn в базисе {e 1, e 2, …, en} пространства V в вектор с такими же координатами в базисе

В дальнейшем мы будем отождествлять пространства V и V** посредством указанного изоморфизма, т. е. рассматривать каждый вектор x из V одновременно и как линейную функцию на V* (и писать x(h) вместо fx(h) ). При таком соглашении пространства V и V* будут играть совершенно симметричную роль.

Следствие. Всякий базис пространства V* сопряжен некоторому базису пространства V.

Имеется естественное взаимно однозначное соответствие между подпространствами пространств V и V*, при котором каждому k-мерному подпространству пространства V соответствует (n-k)-мерное подпространство пространства V* (где n=dim. V).

Определение 3. Аннулятором подпространства U пространства V называется подпространство

Теорема 2. dim. U 0 = dim. V – dim. U. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {e 1, e 2, …, en} – такой базис пространства V, что U= , и {g 1, g 2, …, gn} – сопряженный базис пространства V*. Тогда U 0 = .

В соответствии с нашим отождествлением пространств V** и V, мы можем говорить об аннуляторе подпространства W пространства V* как о подпространстве пространства V. По определению

Теорема 3. (U 0)0 = U для любого подпространства U пространства V. Д о к а з а т е л ь с т в о. В обозначениях доказательства теоремы 2, ясно, что (U 0)0 = = U. Следствие. Любое подпространство в V является аннулятором некоторого подпространства в V*.

Пусть имеется система однородных линейных уравнений Будем интерпретировать x 1, …, xn как координаты вектора x n-мерного пространства V в некотором базисе {e 1, e 2, …, en}. Тогда система (2) может быть записана в виде hi(x)=0 (i=1, …, m), где h 1, …, hm – линейные функции, стоящие в левых частях уравнений (2).

Множество решений этой системы представляет собой аннулятор подпространства пространства V*. Заметим, что размерность этого подпространства равна рангу матрицы коэффициентов системы (2). Поэтому теорема о размерности подпространства решений системы однородных линейных уравнений является непосредственным следствием теоремы 2.

Следствие. Любое подпространство в V является аннулятором некоторого подпространства в V*. Следствие теоремы 3 в этом контексте может быть сформулировано так: Теорема 4. Всякое подпространство в V является множеством решений некоторой системы однородных линейных уравнений.