Линейные дискретные задачи 1. Некорректные задачи. 2. Классификация

Линейные дискретные задачи 1. Некорректные задачи. 2. Классификация операторов прямой задачи 3. Линеаризация. Дискретизация. 4. Методы решения линейной дискретной обратной задачи

F(m) Прямая задача Геофизическое поле y Модель m(r) Обратная задача F-1(y)

Замечания Обратная задача всегда решается в рамках принятой модели При решении обратной задачи необходимо решать прямую задачу Существуют различное понимание термина «модель»

Параметризация геологической среды Параметризация сложно построенной среды означает формирование такой модели в характеристику которой входит перечень параметров с выделенным диапазоном их изменения либо с заданным законом изменения параметров (по Кобрунову) Неоднозначность решения обратной задачи приводит к необходимости определять не искомую модель m(r), а только некоторые ее осредненные характеристики. Степень осреднения зависит от исходных данных и их погрешности. Замена искомой модели m(r) упрощенной моделью путем осредения называется параметризацией модели (Яновская Т. Б. ) Параметризация среды означает ее замену моделью, описываемую конечным числом параметров

Основные принципы параметризации Определяется узкий класс функций внутри которого производится поиск моделей Выбранные функции характеризуются некоторыми параметрами. Задача сводится к определению этих параметров.

Типы операторов прямой задачи Нелинейная дискретная y = f(m) m и y – векторы определенной длины F-функция Линейная дискретная y = Fm m - вектор неизвестных размерности M y - вектор данных размерности N F – матрица M x N

Типы операторов прямой задачи Линейная и непрерывная G(x) - оператор f(s, x)- ядро оператора. Нелинейная и непрерывная f(s, x, m(x)) - нелинейная функция неизвестной m(x) функции

Типы обратных задач Линеаризованная Δy =FΔm Приращение параметров модели линейным образом зависят от приращения поля.

Определите тип оператора прямой задачи Построение отражающей границы по годографу отраженной волны Определение распределения плотности по данным гравиметрии

Некорректность обратных задач

Некорректность обратных задач. Множество решений Геофизические наблюдения можно рассматривать как элемент пространства Y, а модель m – как элемент пространства M. Оператор F преобразует пространство M в пространство Y. Такое преобразование является однозначным. Обратная задача – построение обратного оператора F-1, преобразующего пространство Y в пространство М. Известно, что из-за эквивалентности, обратное преобразование будет неоднозначным. Основная причина – неполнота реальных геофизических данных: дискретность и ограниченность наблюдений

Множество решений m M Y m Точке m из пространства M соответствует одна точка из пространства Y. Точке y соответствует некоторая область (возможно несвязная) пространства M

Множество решений Что делать? Выход – найти характеристики, которые определяли все модели, соответствующие области решения. Практически это делается априорном осреднении характеристик модели (параметризация модели). Чем больше степень осреднения, тем меньше степень эквивалентности. Проблема! Что происходит при слишком большом осреднении? Можем получить единственное решение, не соответствующее наблюденным значения. Что происходит при недостаточном осреднении? Область решения продолжает оставаться слишком большой ПРИ ВЫБОРЕ СПОСОБА ОСРЕДНЕНИЯ НЕОБХОДИМО УЧИТЫВАТЬ ИСХОДНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ

Неустойчивость обратных задач Оператор преобразования одного пространства в другое называется устойчивым, если малые изменения в исходном пространстве X приводят к малым изменениям в пространстве Y Оператор решения прямой задачи обычно устойчив Оператор решения обратной задачи обычно неустойчив: следовательно малые изменения исходных данных могут приводить к сколь угодно большим изменениям в модели m. Наблюдения y всегда имеют ошибку. Наблюдения геофизических полей всегда содержат ошибку. В пространстве Y наблюдения не точка (элемент пространства), а область пространства

Неустойчивость обратных задач m* y* m y

Неустойчивость обратных задач m* y* m y

Неустойчивость обратных задач Даже если обратная задача будет иметь единственное решение изза ошибки наблюдений области в пространстве Y будет соответствовать область в пространстве моделей Неустойчивость оператора обратной задачи, что область решения может включать самые разные модели, в том числе очень далекие от истинной. ДЛЯ ПРЕОДОЛЕНИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ НЕОБХОДИМО ВВЕДЕНИЕ АПРИОРНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ НА МОДЕЛЬ

Основные проблемы решения обратных задач Параметризация модели- выбор пространства M Сопоставление экспериментальных и модельных значений поля -выбор критерия близости точек в пространстве Y Определение критерия выбора единственного решения из множества решений Сужение области решения, в случае неустойчивости задачи Оценка качества решения – насколько полученное решение соответствует реальной модели

Линеаризация оператора прямой задачи

Линейные операторы Линейность оператора означает выполнения алгебраических законов умножения и сложения: Сложение F(m 1+m 2) =F(m 1)+F(m 2) F(λm) = λF(m) Умножение Линейный функционал – линейный оператор, переводящий элемент какого-либо пространства (например Rn) в пространство рациональных чисел R

Линеаризация оператора прямой задачи Только в задачах магнитометрии и гравиметрии имеет место линейность оператора прямой задачи. Если среда разбита на блоки с постоянными значениями плотности в каждом из них В случае задачи о контактной поверхности – определяется положение границы Z(x), разделяющей слои с разной плотностью , оператор решения прямой задачи не будет линейным

Линеаризация оператора прямой задачи Таким образом, в большинстве случае оператор решения обратной задачи не является линейным С другой стороны, большинство методов решения обратных задач разработано для линейных задач. Выход – ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ОПЕРАТОРА ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ

Линеаризация оператора прямой задачи В классическом случае обратная задача формулируется как поиск неизвестных параметров m по заданному оператору F( в общем случае нелинейному) и наблюденному геофизическому полю F(m) y m(r) F-1(m)

Линеаризация оператора прямой задачи В случае линеаризации обратная задача формулируется как поиск поправок Δm к некоторому начальному приближению m(0) В этом случае связь между Δm и Δy приблизительно будет линейной Чем ближе начальная модель к истинному решению, тем лучше будет результат В процессе линеаризации на каждом шаге решается линейная задача. Процесс сходится, когда поправка Δm станет достаточно малой

Линеаризация оператора прямой задачи: годограф отраженной волны Оператор решения прямой задачи Модель m: (m 1, m 2, m 3) определяется тремя параметрами: 1. H – глубина залегания отражающей границы 2. v – скорость в верхнем слое 3. φ – угол наклона отражающей границы

Линеаризация оператора прямой задачи: годограф отраженной волны Шаг 1 – задаем начальный вектор m 0(h 0, v 0, φ0) Шаг 2 – рассчитываем вектор t 0(x) – годограф для модели с начальными параметрами Шаг 3 – рассчитываем Δt(x)=t(x)- t 0(x) Шаг 4 – решаем линейную систему уравнений относительно Δm 1 : (Δh, Δv, Δ, φ) Шаг 5 –корректируем начальную модель и получаем модель m 1= m 0+ Δm 1 Повторяем шаги 2 -5 пока Δmn не станет достаточно малым

Классификация методов решения обратных задач

Классификация методов решения обратных задач Метод наименьших квадратов Метод Бейкуса-Гильберта Класс моделей фиксирован. Наблюдения содержат ошибку. Число наблюдений больше числа параметров. Решение находится из условия: Ошибка наблюдений мала. Пространство моделей имеет большую размерность. Задача Имеет множество решений. Решение находится из условия: . Метод регуляризации повышает устойчивость решения введением параметра регуляризации. В методе регуляризации оба условия объединены.

Метод наименьших квадратов Основное условие МНК - сумма квадратов отклонений теоретических и экспериментальных данных должна быть минимальной Допускается, что экспериментальные данные содержат ошибку наблюдений , но предполагается , что ошибка распределена по нормальному закону Выполнение условия МНК приводит к решению системы нормальных уравнений A*Aσ=A*g

Варианты СЛАУ Пример: линейная регрессия Переопределенная СЛАУ Недоопределенная СЛАУ Достаточно определенная СЛАУ

МНК. Переопределенная СЛАУ Сумма квадратов отклонений или Взвешенная сумма квадратов отклонений Если наблюдения имеют разную размерность

МНК. Переопределенная СЛАУ Условие минимизации приводит к решению СЛАУ:

Пример. Метод наименьших квадратов. Линейная регрессия.

Метод наименьших квадратов Оценки МНК оптимальны в случае нормального закона распределении ошибок наблюдений. В большинстве задач геофизики предположение о нормальности распределения ошибок можно считать оправданным. Если распределение не является нормальным решение МНК нельзя считать оптимальными. Важно! Задача МНК, остаётся некорректной вследствие плохой обусловленности «рабочей» матрицы. Плохая обусловленность системы означает, что погрешности коэффициентов её матрицы (имеющие место ввиду ошибок аппроксимации) и погрешности правых частей (ошибка измерений) сильно искажают решение. Поскольку задача неустойчива, то (точное) решение задачи с неточно заданными матрицей и правой частью может не иметь ничего общего с искомым вектором σ.