Линейное пространство 1 Мы рассматривали множество геометрических

Линейное пространство. 1

Мы рассматривали множество геометрических векторов в пространствах R 2 и R 3, для которых операции сложения векторов и умножения их на число удовлетворяют 8 свойствам: Можно привести примеры других множеств, для которых операции сложения и умножения на число обладают такими же свойствами. Множество элементов различной природы – геометрических векторов, матриц, функций можно охарактеризовать общими свойствами линейности. Эти свойства выделяются в систему аксиом, определяющих общеепонятие линейного пространства. 2

Определение. Непустое множество V элементов произвольной природы называется линейным (векторным) пространством, если в нем определены две операции (сложения и умножения на число): 1. Для определен элемент , называемый суммой. 2. Для и определен элемент , называемый произведением элемента на число . Причем указанные операции подчиняются следующим аксиомам, называемым аксиомами линейного пространства: 3

1) (коммутативность по сложению); 2) (ассоциативность по сложению); 3) ( - нулевой элемент); 4) ( - противоположный элемент); 5) (ассоциативность умножения); 6) (дистрибутивность умножения); 7) ; 8) Замечание. Элементы линейного пространства называются векторами. 4

Примеры линейных пространств. 1) множество геометрических векторов R 2, заданных на плоскости, для которых операции сложения векторов и умножения их на число определены ранее; 2) множество геометрических векторов R 3, заданных в пространстве, для которых операции сложения векторов и умножения их на число определены ранее; 3) множество упорядоченных наборов из n чисел Rn, или пространство строк длины n, где операции сложения векторов и умножения их на число определяются следующим образом: где 5

4) Множество всех функций, непрерывных на отрезке [a, b], с естественным образом введенными операциями сложения функций и умножения их на число. 5) Множество Pn многочленов, степени не выше n, с естественным образом введенными операциями сложения многочленов и умножения их на число. 6) Множество положительных действительных чисел не является линейным пространством, если операции сложения и умножения на число ввести обычным образом, так как, например, если λ<0, то элемент 7) Множество является линейным пространством, если операции сложения и умножения на число ввести следующим образом: 6

Свойства линейного пространства. 1. Нулевой элемент единственный. Доказательство. Пусть существуют два ненулевых элемента Доказательство. 7

Доказательство. 8

5. Противоположный элемент единственный. Доказательство. Пусть существуют два противоположных элемента Свойства 6 -7 доказать самостоятельно. 9

Замечания. 1. Противоположным элементом для нулевого элемента является он сам. 2. . Противоположным элементом для элемента является элемент Линейная зависимость и независимость векторов. Определение. Система векторов линейного пространства V называется линейно зависимой, если существуют числа 1, α 2 , …, n , не равные одновременно нулю , такие что линейная комбинация этих векторов равна нулю: 10

Определение. Система векторов линейного пространства V называется линейно независимой, если равенство нулю их линейной комбинации возможно только в случае одновременного равенства нулю всех коэффициентов 1, α 2 , …, n. Примеры. 1) Рассмотрим множество всех функций, непрерывных на отрезке [a, b]. Пусть Тогда система функций линейно зависима. 11

2) Рассмотрим множество Pn многочленов, степени не выше n. Пусть Рассмотрим линейную комбинацию Данная линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда Следовательно, система функций линейно не зависима. Свойства линейно зависимых и независимых систем элементов линейного пространства. Лемма 1. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы. Доказательство. 12

1. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда по определению существуют числа 1, α 2, …, n , не равные одновременно нулю , такие что линейная комбинация этих векторов равна нулю: Так как не все αi равны нулю, то . Тогда Разделим на , тогда Вектор представлен в виде линейной комбинации векторов 13

2. Пусть вектор представлен в виде линейной комбинации векторов , то есть Так как в линейном пространстве где не все коэффициенты равны 0. В частности коэффициент . Следовательно, система векторов линейно зависима. 14

Лемма 2. Пусть система векторов линейно независима. Тогда вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов тогда и только тогда, когда система векторов линейно зависима. Доказательство. 1. Пусть вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов , то есть Тогда по лемме 1 система векторов линейно зависима. 2. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда по определению существуют числа 1, … n , не равные одновременно нулю такие, что линейная комбинация этих векторов равна нулю: 15

Но , так как по условию леммы система векторов линейно независима, а значит , Следовательно, разделив выражение (*) на число , получим 16

Лемма 3. Пусть вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов . Тогда это выражение единственно тогда и только тогда, когда система векторов линейно независима. Доказательство. 1. Пусть система векторов линейно независима. Доказываем методом от противного. Предположим, что Из свойств линейного пространства Тогда Так как векторы Л. З. , то равенство нулю их линейной комбинации возможно только в случае одновременного равенства нулю всех коэффициентов 17

Получили противоречие, следовательно, вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов . 2. Пусть система векторов Л. З. Тогда по определению существуют числа такие что линейная комбинация этих векторов равна нулю: Получили два различных разложения вектора по векторам 18

Следствия. 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. Доказательство. ( коэффициент при нулевом векторе не равен нулю, а все остальные коэффициенты равны нулю). 2. Если среди элементов любые k элементов (k

4. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда это нулевой вектор. Доказательство. Пусть - Л. З. Тогда . Так как , то . Пусть - Л. Н. З. Тогда 5. Система, состоящая из двух ненулевых векторов, во множестве всех геометрических векторов в пространстве, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти вектора коллинеарные. 6. Система, состоящая из трех ненулевых векторов, во множестве всех геометрических векторов в пространстве, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти вектора компланарные. 20

7. Система, состоящая из четырех векторов, в множестве всех геометрических векторов в пространстве, всегда линейно зависима. 21

Базис и координаты вектора. Определение. Базисом B линейного пространства V называется упорядоченная линейно независимая система векторов из этого пространства, таких, что любой вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации базисных векторов: (*) Выражение (*) называют разложением вектора по базису B = , а числа х1, х2, …хn – координатами вектора в базисе B. 22

Замечание. В пространстве V может быть задано несколько базисов, но все базисы пространства V состоят из одинакового числа векторов. Если базис пространства V состоит из n векторов, то говорят, что пространство n-мерно (обозначают Vn). Утверждение. Любой элемент линейного пространства может быть разложен по базису B = единственным образом. Данное утверждение следует из леммы 3. 23

Линейные операции в координатной форме. Пусть в линейном пространстве V задан базис B = . Тогда для любых элементов : Утверждение. Доказательство: 24

Определение. Линейное пространство V , в котором существует n линейно независимых элементов, но нет линейно независимых систем с большим числом векторов, называется n-мерным. Обозначение: . Определение. Линейное пространство V называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов. Примеры. 1) 2) Базис этого пространства состоит из одного элемента, в качестве которого можно взять любое положительное число x 0 1, так как для 25

Теорема Пусть. Тогда любые n линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис. Доказательство: Пусть . Тогда существует n линейно независимых элементов , а любые (n+1) элементы линейно зависимы, элементы Л. З. образуют базис. 26

Следствия. 1) В n-мерном линейном пространстве любую упорядоченную линейно независимую систему из k

Таким образом, линейное подпространство – это любое подмножество данного линейного пространства, замкнутое относительно линейных операций, то есть применение линейных операций к векторам, принадлежащим этому подмножеству, не выводит результат за пределы подмножества. Заметим, что линейное подпространство как самостоятельный объект является линейным пространством относительно линейных операций, заданных в пространстве V. В самом линейном пространстве V всегда имеются два линейных подпространства: само линейное пространство и нулевое подпространство, состоящее из одного элемента 0. Эти линейные подпространства называются собственными. 28

Примеры. 1) В линейном пространстве геометрических векторов трехмерного пространства линейное подпространство образуют а) все векторы, параллельные данной плоскости; б) все векторы, параллельные данной прямой. 2) В линейном пространстве квадратных матриц порядка n линейное пространство образуют: а) все симметрические матрицы; б) все кососимметрические матрицы; в)все верхние (нижние) треугольные матрицы. 3)Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на отрезке [-1, 1] и обращающихся в 0 при x=0 - подпространство линейного пространства всех вещественнозначных функций непрерывных на отрезке 29 [-1, 1 ].

Определение. Пусть в линейном пространстве V задана система векторов . Рассмотрим множество L(X) всех векторов в V, которые могут быть представлены в виде линейной комбинации этих векторов. Это множество является линейным подпространством в V и называется линейной оболочкой системы векторов . Отметим, что само линейное пространство является линейной оболочкой любого из своих базисов. 30

Пример. Пусть - набор одночленов. Тогда L(X) - совокупность всех многочленов степень которых не превышает n. Свойства линейной оболочки. 1. L(X) содержит само множество X. 2. Является подпространством линейного пространства V. 3. Наименьшее подпространство линейного пространства V, содержащее множество X. 31

Определение. Рангом системы векторов в линейном пространстве называется размерность линейной оболочки этой системы векторов. Теорема. Ранг системы векторов линейного пространства V равен: 1)максимальному количеству линейно независимых векторов данной системы; ] 2)рангу матрицы, составленной по столбцам из координат векторов в каком-либо базисе линейного пространства V. 32

Определение. Пусть H – некоторое подпространство линейного пространства V, тогда множество называется линейным многообразием, полученным сдвигом подпространства H на вектор . Пример. Множество решений неоднородной системы линейных уравнений является линейным многообразием в пространстве , которое получается из подпространства решений соответствующей однородной системы линейных уравнений сдвигом на произвольное частное решение неоднородной системы. 33