Линейное программирование Транспортная задача Оглавление 1 Математическая

Линейное программирование Транспортная задача

Оглавление 1. Математическая постановка задачи 2. Нахождение опорного плана 2. 1. Метод северо-западного угла 2. 2. Метод наименьшей стоимости 2. 3. Особый случай построения исходного опорного плана 3. Определение оптимального плана транспортной задачи Метод потенциалов 3. 1. Критерий оптимальности 3. 2. Пример расчета потенциалов 3. 3. Цикл пересчета 3. 4. Пример построения цикла пересчета 4. Литература

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА I. Математическая постановка задачи Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления А 1, А 2, … Аm в n пунктов назначения B 1, B 2, … Bn. В качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Обычно исходные данные транспортной задачи записывают в виде таблицы.

Пункты назначения Пункты отправления B 1 … A 1 c 11 х11 … … Ai ci 1 Bj Bn Запасы … c 1 n х1 n a 1 … … c 1 j … cin хin ai х1 j … хi 1 … cij хij … … … … Am cm 1 хm 1 … cmj хmj … cmn хmn am Потребности b 1 … bj … bn

cij – тарифы перевозки единицы груза из i-го (i=1, . . , m) пункта отправления в j-ый (j=1, …, n) пункты назначения; ai – запас груза в i-ом пункте отправления; bj – потребность в грузе в j-ом пункте назначения; xij – количество единиц груза, перевезенного из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения. Математическая постановка транспортной задачи состоит в определении минимального значения функции: при условиях:

Т. к. переменные хij удовлетворяют системам линейных уравнений (2) и (3) и условию неотрицательности (4), то обеспечиваются доставка необходимого количества груза в каждый из пунктов назначения, вывоз имеющегося груза из всех пунктов отправления, а также исключаются обратные перевозки. Всякое неотрицательное решение системы линейных уравнений (2) и (3) называется опорным планом транспортной задачи. План, при котором функция (1) принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом.

Если , т. е. потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, то модель транспортной задачи называется закрытой, а если указанное условие не выполняется - открытой. В случае превышения запасов над потребностью, т. е. вводят фиктивный пункт назначения с потребностью все тарифы в этом столбце берут равными нулю (сi, n+1= 0, i=1, …, m)

потребности запасы 25 25 30 30 1 2 3 30 5 4 1 40 2 3 2 потребности запасы 25 25 30 20 30 1 2 3 0 30 5 4 1 0 40 2 3 2 0

Аналогично, при вводят фиктивный (m+1) –ый пункт отправления с запасом груза и соответствующие тарифы полагают равными нулю (сm+1, j= 0, j=1, …, n) Такими действиями задача сводится к транспортной задаче закрытого типа. Поэтому далее будем рассматривать задачу закрытого типа. Число переменных в задаче равно n∙m, а число уравнений равно n+m. Т. к. предполагаем, что , то число линейно независимых уравнений равно n+m-1.

Следовательно опорный план транспортной задачи может иметь не более n+m-1 отличных от нуля неизвестных. Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно n+m-1, то план является невырожденным, а если меньше, то вырожденным. Чтобы опорный план сделать невырожденным, нужно добавить базисные нули, чтобы компонент было n+m-1.

II. Нахождение опорного плана Для нахождения опорного плана существует много методов. Рассмотрим два из них. Метод северо-западного угла Такое название объясняется тем, что распределение груза (в матрице перевозок) идет слева направо, сверху вниз, т. е. по диагонали таблицы с северо-запада на юго-восток. Недостатком данного метода является то, что он не учитывает значения тарифов матрицы транспортных расходов в результате чего полученный этим методом начальный опорный план перевозок может быть достаточно далек от оптимального.

потребности запасы 250 200 290 260 300 10 4 5 6 320 1 8 11 3 380 8 15 7 9 Задача закрытого типа

потребности запасы 250 300 10 320 380 200 290 260 6 250 4 50 5 1 8 150 11 170 3 8 15 7 120 9 260

Метод наименьшей стоимости В методе наименьшей стоимости заполняются в первую очередь клетки с наименьшими тарифами, причем, если тарифы нескольких клеток равны, то предпочтение отдается той клетке, в которую может быть помещено большее количество груза. потребности запасы 250 200 300 10 4 320 1 380 8 290 250 8 15 90 5 6 190 11 110 260 3 70 7 290 9

Особый случай построения исходного плана. После заполнения очередной клетки одновременно закрывается как строка, так и столбец, но составление исходного плана еще не завершено. Ставится базисный нуль в клетку при переходе по закрытому столбцу или строке (иначе получится вырожденный опорный план). 50 100 50 50 50 100 100

III. Определение оптимального плана транспортной задачи Для определения оптимального плана транспортной задачи разработано несколько методов: метод потенциалов, метод дифференциальных рент, распределительный метод.

Алгоритм метода потенциалов 1. Пунктам отправления А 1, А 2, … Аm приписывают потенциалы v 1, v 2, …, vm, 2. а пунктам назначения B 1, B 2, … Bn приписывают потенциалы u 1, u 2, …, un. 3. Значения потенциалов находят из системы линейных уравнений вида vi + uj = cij, где cij – тарифы занятых клеток. Число занятых клеток m+n-1, а число потенциалов m+n, поэтому система линейно независимых уравнений вида vi + uj = cij неопределенная и, следовательно, один из потенциалов можно задать произвольно (например, v 1=0)

Расчет потенциалов Пример. 10 4 250 1 8 4 5 90 4 6 190 11 8 15 110 3 70 7 290 9 11 6 6 0 0 9 7 18 0 0

Цикл пересчета Циклом пересчета называется линия, составленная из горизонтальных и вертикальных отрезков, вершины которой находятся в клетках таблицы, причем только одна вершина находится в свободной клетке, а все остальные вершины в клетках занятых. Теорема. Для каждой свободной клетки существует цикл пересчета и при том только один. Если ломаная линия, образующая цикл, пересекается, то точки самопересечения не являются вершинами. Примеры циклов пересчета

Чтобы построить цикл пересчета рассматривают все свободные клетки, в которых Dij < 0. Среди них выбирают самое большое отрицательное. Если таких клеток несколько, то выбирают клетку с наименьшим тарифом. С такой свободной клетки начинают строить цикл пересчета. В остальных вершинах цикла стоят занятые клетки. После этого необходимо переместить грузы.

Цикл сдвига (пересчета) • 10 110 + 4 250 1 8 – 190 90 15 6 11 8 5 3 70 9 + 290 7 8 6 100 8 11 3 70 7 9 90 200 4 250 1 5 15 10 290 6 0 1 0 7 8 1 10 0 0

Правила перемещения груза: а) во всех вершинах цикла расставляем знаки «-» и «+» , чередуя, начиная, со свободной клетки, где ставим знак «+» . б) в данную свободную клетку переносят меньшее из чисел хij, стоящих в минусовых клетках. Одновременно это число прибавляют к соответствующим числам, стоящим в плюсовых клетках и вычитают из чисел, стоящих в минусовых клетках. Клетка, которая была ранее свободной, становится занятой, а минусовая клетка в которой стояло минимальное из чисел хij становится свободной. Получаем новый опорный план, который снова проверяют на оптимальность.

Литература Плотников. Экспресс курс. Математическое программирование