Линейное программирование Симплекс метод СИМПЛЕКС-МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Линейное программирование Симплекс метод

СИМПЛЕКС-МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Идея симплекс-метода Чтобы решить задачу ЛП надо представить ее в каноническом виде:

СИМПЛЕКС-МЕТОД ЗАДАЧ ЛП С помощью метода Жордана-Гаусса преобразуем систему (2) и выделим базисные переменные. Если r = n, то система имеет единственное решение, подставляем его в целевую функцию (1) и получаем решение задачи ЛП. Если r < n, то выражаем базисные переменные через свободные. Пусть базисные переменные – x 1, …, xr, свободные переменные – xr+1, …, xn.

СИМПЛЕКС-МЕТОД ЗАДАЧ ЛП Получаем преобразованную задачу:

СИМПЛЕКС-МЕТОД ЗАДАЧ ЛП В этой задаче: 1. Система ограничений выражена через свободные переменные; 2. Целевая функция выражена через свободные переменные; 3. Все ; 4. должны быть неотрицательны. Это условие может быть обеспечено только в том случае, если система ограничений (2) имеет хотя бы одно неотрицательное решение.

СИМПЛЕКС-МЕТОД ЗАДАЧ ЛП Одно из решение системы (4) получается, если в ней свободные неизвестные приравнять к 0. Получаем базисное решение: При этом целевая функция F = c 0 Симплекс-метод состоит в переходе от одного базисного решения к другому базисному решению, такому, что целевая функция F будет увеличиваться (при невырожденном опорном плане). При этом рассматриваются коэффициенты целевой функции.

СИМПЛЕКС-МЕТОД ЗАДАЧ ЛП Рассмотрим коэффициенты при свободных неизвестных в целевой функции: Можно выделить следующие случаи: Случай 1. Среди коэффициентов целевой функции (3) нет положительных : Тогда если увеличивать любую свободную переменную, то целевая функция (3) будет уменьшаться. Но, т. к. мы ищем максимальное решение, то уже найденное решение и будет оптимальным. Но оно может быть не единственным, если в целевой функции (3) есть коэффициенты, равные 0.

СИМПЛЕКС-МЕТОД ЗАДАЧ ЛП Случай 2. Среди коэффициентов целевой функции (3) найдется хотя бы один положительный, например Положим в уравнениях (3) и (4) все свободные переменные равными нулю, кроме хj. Тогда система (4) и уравнение (3) примут вид: .

СИМПЛЕКС-МЕТОД ЗАДАЧ ЛП Если хj увеличивать, то будет увеличиваться и целевая функция (5), но возможность роста определяется системой (6) и зависит от знаков коэффициентов а) Предположим, что среди коэффициентов нет положительных , т. е. , тогда любая переменная хi, (i=1, …, r) либо не изменяется (если ), либо растет (если ), c ростом хj, оставаясь положительной. Т. о. система (6) не дает ограничения для роста неизвестного хj и, следовательно, . б) Предположим, что среди коэффициентов есть положительные, тогда требование неотрицательности переменных приводит к неравенствам вида:

СИМПЛЕКС-МЕТОД ЗАДАЧ ЛП Это означает, что: которых , для тех индексов k, у Итак, максимальное значение, которое может принимать переменная хj, равно минимальному из отношений: Допустим, что оно достигается при k = i, т. е. : Элемент aij называется разрешающим элементом. хj уходит в разряд базисных переменных, а хi становится свободной переменной.

СИМПЛЕКС-МЕТОД ЗАДАЧ ЛП Получаем новое базисное решение: Далее целевую функцию (3) и систему (4) записываем через новые свободные переменные. И снова рассматривается новая целевая функция, если какую-нибудь переменную можно увеличить, то весь процесс повторяется. Если все коэффициенты при переменных (в целевой функции) неположительны, то найдено оптимальное решение.

СИМПЛЕКС-МЕТОД ЗАДАЧ ЛП Алгоритм идеи симплекс-метода: 1. Записываем систему ограничений в каноническом виде; 2. Записываем базисное решение; 3. Выбираем переменную из целевой функции, которую будем увеличивать; 4. Определяем возможность роста переменной из системы ограничений; 5. Среди уравнений выбираем то, где рост переменной минимален; 6. Делаем выбранную переменную базисной, а базисную свободной; 7. Записываем систему ограничений и целевую функцию через новую свободную переменную; 8. И далее все повторяется со второго пункта, пока можно выбирать переменную из целевой функции.

Исследование опорного плана на оптимальность и все вычисления удобнее вести в симплекс-таблице баз ис 1 0 0 0 0 1 0 0 0

СИМПЛЕКС-МЕТОД ЗАДАЧ ЛП Пример Озеро можно заселить двумя видами рыб А и В. Средняя масса рыбы для вида А равна 2 кг и для вида В – 1 кг. В озере имеется два вида пищи: P 1 и Р 2. Средние потребности одной рыбы вида А составляют 1 ед. корма P 1 и 3 ед. корма P 2 в день. Аналогичные потребности для рыбы вида В составляют 2 ед. P 1 и 1 ед. P 2. Ежедневный запас пищи поддерживается на уровне 500 ед. P 1 и 900 ед. Р 2. Как следует заселить озеро рыбами, чтобы максимизировать общую массу рыб?

Пример А запас Р 1 1 2 500 Р 2 3 1 900 масса В 2 1 баз ис 1 2 1 0 3 1 0 1 -2 -1 0 0

базис 1 2 1 0 3 1 0 1 -2 -1 0 0 0 200 0 1 2 300 1 0 600 0 0 120 0 1 2 260 1 0 640 0 0 300 1 500 120 900

базис 1 2 1 0 500 3 1 0 1 300 -2 -1 0 0 0 200 0 1 120 2 300 1 0 900 600 0 0 1 120 0 1 2 260 1 0 640 0 0 Элементы новой симплекс-таблицы находят пользуясь методом Жордана-Гаусса. Элементы оценочной строки можно найти используя метод Жордана-Гаусса или на основе определения (это позволяет проводить контроль вычислений).