Линейное программирование Пушникова Марина Юрьевна Экономико-математическая модель

Линейное программирование Пушникова Марина Юрьевна

Экономико-математическая модель • Экономико-математическая модель – математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта • Этапы экономико-математического моделирования 1. Постановка цели и задачи исследования, описание объекта в виде математической модели 2. Формирование математической модели, выбор методов исследования 3. Анализ математической модели

Задача об использовании ресурсов (планирования производства) Вид Запас ресурса Число ед. ресурсов, затрачиваемых на изготовление ед. продукции Р 1 Р 2 S 1 18 1 3 S 2 16 2 1 S 3 5 - 1 S 4 21 3 - Прибыль, получаемая от единицы продукции Р 1 и Р 2 – соответственно по 2 и 3 рубля. Необходимо составить такой план производства продукции , при котором прибыль от ее реализации будет максимальной

Экономико-математическая модель Пусть х1 и х2 – число единиц продукции соответственно Р 1 и Р 2, тогда

Задача о диете Витам Необх Число ед. ин одим витамина в 1 ый кг корма миним I II ум витам ина S 1 9 3 1 S 2 8 1 2 S 3 12 1 6 Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 руб. Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида витамина было бы не менее установленного предела

Экономико-математическая модель Пусть х1 и х2 – число единиц продукции соответственно I и II, тогда

Общая задача линейного программирования Найти такое решение системы где при котором линейная функция принимает оптимальное (максимальное или минимальное) значение. При этом система называется системой ограничений, а функция – целевой функцией

Оптимальное решение задачи линейного программирования Оптимальным решением (оптимальным планом) задачи линейного программирования называется решение системы ограничений удовлетворяющее условию при котором целевая функция принимает оптимальное решение

Классификация задач линейного программирования • Если все переменные неотрицательны, а система ограничений состоит лишь из одних неравенств, то задача линейного программирования называется стандартной • Если все переменные неотрицательны, а система ограничений состоит лишь из одних уравнений, то задача линейного программирования называется канонической

Теоремы о задачах линейного программирования • Любая задача линейного программирования может быть сведена к канонической, стандартной или общей задаче • Всякому решению неравенства соответствует определенное решение уравнения в котором. И, наоборот, каждому решению уравнения и неравенства соответствует определенное решение неравенства

Еще определения из линейной алгебры • Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными называются главными (основными, базисными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля, а остальные n-m переменных называются свободными (неосновными) • Решение системы линейных уравнений называется допустимым, если оно содержит лишь неотрицательные компоненты. В противном случае решение называется недопустимым • Базисным решением системы линейных уравнений называется решение, в котором все n-m свободных переменных равны нулю • Базисное решение, в котором хотя бы одна из главных переменных равна нулю, называется вырожденным

Пример: Найти все возможные группы главных переменных в системе Т. к. то х1 и х2 могут быть главными переменными Т. к. то х1 и х3 могут быть главными переменными Т. к. то х1 и х4 могут быть главными переменными Т. к. то х2 и х3 не могут быть главными переменными Т. к. то х2 и х4 не могут быть главными переменными Т. к. то х3 и х4 не могут быть главными переменными

Пример: Найти все базисные решения системы Если х1 и х2 – главные, то х3=х4=0 и система примет вид Если х1 и х3 – главные, то х2=х4=0 и система примет вид Если х1 и х4 – главные, то х3=х2=0 и система примет вид Ответ: допустимые базисные решения – и , недопустимое базисное решение

Выпуклость • Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от прямых, на которых лежат его стороны • Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки • Пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество

Классификация точек • Точка множества называется внутренней, если в некоторой ее окрестности содержатся точки только данного множества • Точка множества называется граничной, если в любой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие ему • Точка множества называется угловой, если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежащего данному множеству С А В Е

Классификация множеств точек • Множество точек называется замкнутым, если включает все граничные точки • Множество точек называется ограниченным, если существует круг (шар) радиуса конечной длины с центром в любой точке множества, который полностью содержит в себе данное множество, в противном случае множество называется неограниченным • Выпуклое замкнутое множество точек пространства (плоскости) имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многогранником (многоугольником), если оно ограниченное, и выпуклой многогранной (многоугольной) областью, если оно неограниченное

Геометрический смысл решения линейного неравенства Множество решений неравенства является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой , включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравенства Множество всех решений линейного неравенства с n переменными является одним из полупространств, на которые все пространство делится гиперплоскостью включая и эту гиперплоскость

Пример: Построить решение неравенства Граница: х2 3 х1 -4

Множество решений систем неравенств • Множество решений совместной системы m линейных неравенств с двумя переменными является выпуклым многоугольником или выпуклой многоугольной областью • Множество решений совместной системы m линейных неравенств с n переменными (m

Пример: построить множество решений системы неравенств Граница: х2 8 В 5 Граница: С х1 -4 А Граница: -1 3 12

Пример: построить множество допустимых решений уравнения х2 3 2 х1