Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами Выполнил Студент

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами Выполнил: Студент ГД 12 -3

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Дифференциальное уравнение вида (1) Где , f - известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если f(x)=0, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным. К однородному уравнению, очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось. Если f - непрерывная функция, то общее решение уравнения (1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (1).

Чтобы решить однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (1) надо составить характеристическое уравнение (2) и найти его корни. Каждому простому корню соответствует частое решение однородного уравнения (1), имеющее вид , а каждому корню кратности k - решения. Произвольная линейная комбинация всех частных решений является общим решением однородного уравнения (1), т. е. где произвольные постоянные.

Если все коэффициенты однородного уравнения (1) вещественные, то решение можно написать в вещественной форме и в случае комплексных корней. Для каждой пары комплексно сопряженных корней в формулу общего решения включаются слагаемые если эти корни простые, и слагаемые если каждый из корней - многочлены степени k-1 имеет кратность k. Здесь

Пример 1. Решить уравнение Решение. Выпишем характеристическое уравнение, соответствующее данному однородному уравнению Разлагая левую часть уравнения на множители, находим корни: Следуя выше изложенной теории, выпишем общее решение данного уравнения Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида, а именно состоящей из сумм и произведений функций , частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов. Вид частного решения зависит от корней характеристического уравнения

В случае, когда для определения вида частного решения нельзя воспользоваться только одной строкой таблицы, применяют принцип суперпозиции. Теорема (принцип суперпозиции). Пусть - решения уравнений. соответственно. Тогда есть решение уравнения

Пример 4. Решить уравнение Решение будем искать в виде , для нахождения r получаем характеристическое уравнение решая которое, находим r. В итоге получаем общее решение исходного уравнения Пример 5. Решить уравнение Решение будем искать в виде для нахождения r получаем характеристическое уравнение решая которое, находим r. В итоге получаем общее решение исходного уравнения

Уравнение Лагранжа. Уравнение Чебышева Уравнение Лагранжа. Имеет вид где. Заменой уравнение Лагранжа сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами Уравнение Чебышева. Это уравнение вида Заменой x = const (при |x|<1 ) уравнение Чебышева сводится к уравнению

Пример 5. Решить уравнение Решение будем искать в виде , для нахождения r получаем характеристическое уравнение решая которое, находим r. В итоге получаем общее решение исходного уравнения Пример 6. Решить уравнение Заменой x = cos t исходное уравнение сводится к Решая которое, и переходя к старым переменным получаем общее решение данного уравнения

Конец. Спасибо за внимание!!!