Линейная функция литература 1 Э Г Гельфман

Линейная функция

литература 1. Э. Г. Гельфман и др. Сказка о спящей красавице или функция. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 1996. Дом. зад. Исследование свойств линейной функции в общем виде.

Определение. Линейной функцией называется функция вида у=кх+в, где к, в – любые действительные числа. Значение. • Огромное число реальных зависимостей описываются линейными функциями. Пример. Стоимость товара в магазине. ? . Каким множествам принадлежат зависимые и независимые переменные в данном примере? !. Приведите свои примеры. • Подавляющее большинство нелинейных функций на малых участках изменения аргументов оказываются почти линейными функциями. (заплатка на джинсы – основной принцип дифференциального исчисления)

Характеристическое свойство линейной функции (синонимы: «свойство и признак» , «необходимое и достаточное условие» ) Th. : Приращение линейной функции пропорционально приращению её аргумента. ∆у =к ∆х или Th. 1 ( свойство). Дано. у = кx+в Док. ∆у = к ∆х Док-во. ∆у = у(х2) - у(х1)=кх2 +в - кх1 – в = к (х2 -х1 )=к ∆х Th. 1 ( признак). Дано. у(х)-некоторая функция и ∆у =к ∆х Док. у(х)- линейная функция, т. е. у=кx+в Док-во.

Док-во. ] х1 - конкретное число из ООФ данной функции. ] х - произвольное значение аргумента. Из усл. ∆у = к ∆х или у-у1=кх-кх1 или у-у1=к(х-х1 ) у=кх -кх1+у1. const (*) ? Обозначим: -кх1+у1=в. Тогда у=кх+в, т. е. у(х)- линейная функция. Замечание. Равенство (*) часто у2 –у1 =к(х2 -х1 ) или интерпретируют - формула для вычисления коэффициента к, где необходимое условие х2 ≠х1 геометрически означает, что прямая, проходящая через заданные 2 точки не параллельна оси ОУ, т. е. зависимость является функцией

Th. График линейной функции – прямая. Дано. Точки, координаты которых удовлетворяют формуле линейной функции. Доказать. Данные точки лежат на одной прямой. Док-во. ]к>0, в>0. • Возьмём на оси абсцисс бесконечную последовательность равноотстоящих точек хi. • ]М 1, М 2, М 3 – соответствующие им точки графика линейной функции, М 3 при этом пока М 1 М 2, М 2 М 3 у М 2 3 отдельные отрезки N 3 у 2 у1 М 1 0 1. • • N 2 х1 х2 x 3 … Док. , что любые 3 соседние точки графика лежат на одной прямой. (? ) ∆у=к ∆х. Значит, т. к. равны х2 -х1=х3 -х2=∆х и к=const, то равны и ∆у. На графике: т. к. равны M 1 N 2=M 2 N 3 , то равны и М 2 N 2=M 3 N 3. Получаем ∆M 1 M 2 N 2=∆M 2 M 3 N 3 → ∟M 2 M 1 N 2= ∟M 3 M 2 N 3 ∟ч+ 900+ ∟с=1800 , т. е. ∟M 2 M 1 N 2+ 900+ ∟M 1 M 2 N 2=1800 →

→ ∟M 3 M 2 N 3+ 900+ ∟M 1 M 2 N 2=1800 → →точки М 1 , М 2 , М 3 – лежат на одной прямой → →все Мi лежат на одной прямой. 2. Докажем, что если любой из промежутков [xi; xi+1 ] разбить на любое число равных отрезков, то все соответствующие им точки графика линейной функции окажутся на той же прямой (аналогично п. 1) 3. Пусть х* - произвольная точка на оси абсцисс. Докажем, что соответствующая ей точка графика линейной функции попадает на прямую М 1 М 2.

• М* M** у** М 2 М 1 х1 x* х2 x** а)если [x 1 x*]соизмерим с [x 1 x 2 ], то при каком-то делении x* попадает в разбиение; в)если [x 1 x*]несоизмерим с [x 1 x 2 ], то метод от противного: ] M* попадает выше М 1 М 2. . . Тогда: построим M**: M** попадает на М 1 М 2. . Тогда по построению найдётся х** : х** >x*, но : у(х**)=y(x*), что противоречит тому, что данная функция возрастает (т. к. ).

Th(обратная). Любая прямая, не параллельная оси ординат, является графиком некоторой линейной функции. Док-во. Пусть дана прямая М 1 М 2 у у М у2 М 2 у1 М 1 х х1 х2 х Составим линейную функцию, график которой будет совпадать с прямой М 1 М 2. ]M(x; y), M 1 (x 1; y 1), M 2(x 2; y 2) По характерист. св-ву лин. ф. : Из формулы 1: у-у1=к(х-х1); у = к(х-х1)+у1 или С учётом формулы 2: у= (х-х1)+у1 (*) По ранее доказанному график функции(*) – прямая. Докажем, что график линейной функции (*) совпадает с прямой М 1 М 2.

Проверим принадлежат ли точки М 1 и М 2 графику линейной функции (*). у(х1)= (х1 -х1)+у1 = у1 → →М 1(х1; у1) принадлежит графику линейной функции (*). у(х2)= (х2 -х1)+у1 =( у2 - у1 )+у1 = у2 → М 2(х2; у2) принадлежит графику линейной функции (*). Значит, прямая М 1 М 2 является графиком составленной нами линейной функции. ! Одновременно вывели уравнение (*) прямой, проходящей через 2 заданные точки: у= (х -х1)+у1

Геометрический и физический смысл параметров линейной функции Геометрический смысл свободного члена. у=кх+в, у(0)=в – начальная ордината. Геометрический смысл коэффициента «к» . Коэффициент «к» линейной функции равен тангенсу угла, который оставляет прямая с положительным направлением оси ОХ. (из характеристического свойства) у к =tga – угловой коэффициент у2 у1 ∆y в ∆x a х х х 0 1 2 Угол отсчитывается против часовой стрелки.

Геометрический смысл углового коэффициента. • Модуль углового коэффициента показывает насколько круто идёт прямая. Чем больше модуль, тем круче идёт у прямая. у2 ∆y у1 ∆x х х1 х2 (чем больше ∆у при том же ∆х, тем круче) • Знак углового коэффициента показывает «вверх» или «вниз» идёт прямая. уу ? 1 ∆y у2 ∆x х х1 х2

Физический смысл. Чтобы говорить о физическом смысле коэффициента надо, чтобы функция описывала некий физический процесс. Физический смысл углового коэффициента выясняется из его размерности 1) Классический случай - движение некоторого объекта: S=kt+s 0 у = s - путь (м); х = t –время (с); b = s 0 - путь к началу отсчёта времени. [k]= - скорость движения 2) V=ks+v 0 y=V – объём горючего в литрах, x=s – пройденный путь(км/ч) [k]= – расход горючего.

3) А=кt+A 0 у=А –работа(Дж); х=t –время(с); [k]= -мощность 4) U=ke+U 0 y=U - напряжение на выходе в вольтах; e U х=е- напряжение на входе в вольтах; U 0 - напряжение при е=0 (отсутствует входной сигнал); [k]= - разы или частькоэффициент усиления, если |k|>1 коэффициент передачи , если |k|<1(ослабления по напряжению) 5) т=кх у=т – масса стержня; х=l – длина стержня, [k]= - линейная плотность стержня