Скачать презентацию Линейная алгебра ст преподаватель Душанина О А Скачать презентацию Линейная алгебра ст преподаватель Душанина О А

Линейная алгебра.pptx

  • Количество слайдов: 26

Линейная алгебра ст. преподаватель Душанина О. А. Линейная алгебра ст. преподаватель Душанина О. А.

Понятие множества, подмножества. • Понятие множества, подмножества. •

Обозначения А={2, 6, 15} A = {x| x 2 ≤ 4} А, В, С, Обозначения А={2, 6, 15} A = {x| x 2 ≤ 4} А, В, С, …, а, в, с…,

Опр. 1. 1. Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество Опр. 1. 1. Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение – B ⊆ A или A ⊇ B). Опр. 1. 2. Если одновременно B ⊆ A и A ⊆ B, т. е каждый элемент множества В принадлежит А, и в то же время каждый элемент А принадлежит В, то А и В, очевидно, состоят из одних и тех же элементов и, следовательно, совпадают. A = B (Символы ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ называются символами включения)

Геометрически множества обычно изображаются как некоторые подмножества точек плоскости. диаграммы Эйлера-Венна Геометрически множества обычно изображаются как некоторые подмножества точек плоскости. диаграммы Эйлера-Венна

Линейное пространство, базис, размерность. Множества R, C и матриц Пусть X — линейное пространство. Линейное пространство, базис, размерность. Множества R, C и матриц Пусть X — линейное пространство. Определение 1. 3. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n+1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.

Обозначение: Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn, где n = dim. Xn - Обозначение: Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn, где n = dim. Xn - размерность пространства Xn

Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным. Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, называется бесконечномерным. то такое пространство

1. Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется 1. Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным. 2. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным.

Матрицы и действия над ними Матрицей размеров m × k над множеством R называется Матрицы и действия над ними Матрицей размеров m × k над множеством R называется прямоугольная таблица из чисел, имеющая m строк и k столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называются ее элементами. Принято записывать матрицы размеров m × k в следующем виде:

Матрицы A = (aij)m×k и B = (bij)n×l называются равными, если их размеры совпадают Матрицы A = (aij)m×k и B = (bij)n×l называются равными, если их размеры совпадают (т. е. m = n, k = l) и элементы, стоящие на соответствующих местах, также совпадают: aij = bij при всех i, j, пробегающих независимо друг от друга значения i = 1, . . . , m и j = 1, . . . , k. Множество всех матриц размеров m × k c элементами из R будем обозначать через Rm×k.

Основные действия над матрицами Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма Основные действия над матрицами Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. cij = aij ± bij Обозначение: С = А + В = В + А.

Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы любого размера на произвольное число сводится к Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению каждого элемента матрицы на это число.

Свойства: a (А±В) =a. А ± a. В А(a±b) = a. А ± b. Свойства: a (А±В) =a. А ± a. В А(a±b) = a. А ± b. А

Произведение двух матриц. Замечание: Операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой Произведение двух матриц. Замечание: Операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. В противном случае произведение матриц не определено. Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам: Обозначение: A×B = C

Транспонирование матриц Определение. Матрицу АТ называют транспонированной матрицей А, если элементы каждой строки матрицы Транспонирование матриц Определение. Матрицу АТ называют транспонированной матрицей А, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы АТ. (т. е. строки матрицы А заменены на столбцы и наоборот)

Обратная матрица Определение: Матрица А, называется обратной по отношению к квадратной матрице А-¹, если Обратная матрица Определение: Матрица А, называется обратной по отношению к квадратной матрице А-¹, если

Обратная матрица определяется формулой Обратная матрица определяется формулой

свойства обратных матриц: (A-1)-1 = A; (AB)-1 = B-1 A-1 (AT)-1 = (A-1)T. свойства обратных матриц: (A-1)-1 = A; (AB)-1 = B-1 A-1 (AT)-1 = (A-1)T.