Линейная алгебра ст преподаватель Душанина О А

Линейная алгебра ст. преподаватель Душанина О. А.

Понятие множества, подмножества. •

Обозначения А={2, 6, 15} A = {x| x 2 ≤ 4} А, В, С, …, а, в, с…,

Опр. 1. 1. Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение – B ⊆ A или A ⊇ B). Опр. 1. 2. Если одновременно B ⊆ A и A ⊆ B, т. е каждый элемент множества В принадлежит А, и в то же время каждый элемент А принадлежит В, то А и В, очевидно, состоят из одних и тех же элементов и, следовательно, совпадают. A = B (Символы ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ называются символами включения)

Геометрически множества обычно изображаются как некоторые подмножества точек плоскости. диаграммы Эйлера-Венна

Линейное пространство, базис, размерность. Множества R, C и матриц Пусть X — линейное пространство. Определение 1. 3. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n+1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.

Обозначение: Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn, где n = dim. Xn - размерность пространства Xn

Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, называется бесконечномерным. то такое пространство

1. Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным. 2. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным.

Матрицы и действия над ними Матрицей размеров m × k над множеством R называется прямоугольная таблица из чисел, имеющая m строк и k столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называются ее элементами. Принято записывать матрицы размеров m × k в следующем виде:

Матрицы A = (aij)m×k и B = (bij)n×l называются равными, если их размеры совпадают (т. е. m = n, k = l) и элементы, стоящие на соответствующих местах, также совпадают: aij = bij при всех i, j, пробегающих независимо друг от друга значения i = 1, . . . , m и j = 1, . . . , k. Множество всех матриц размеров m × k c элементами из R будем обозначать через Rm×k.

Основные действия над матрицами Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. cij = aij ± bij Обозначение: С = А + В = В + А.

Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению каждого элемента матрицы на это число.

Свойства: a (А±В) =a. А ± a. В А(a±b) = a. А ± b. А

Произведение двух матриц. Замечание: Операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. В противном случае произведение матриц не определено. Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам: Обозначение: A×B = C

Транспонирование матриц Определение. Матрицу АТ называют транспонированной матрицей А, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы АТ. (т. е. строки матрицы А заменены на столбцы и наоборот)

Обратная матрица Определение: Матрица А, называется обратной по отношению к квадратной матрице А-¹, если

Обратная матрица определяется формулой

свойства обратных матриц: (A-1)-1 = A; (AB)-1 = B-1 A-1 (AT)-1 = (A-1)T.