ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (продолжение) 1. Матрицы перехода от базиса к базису. Линейный оператор, его матрица.
Определение. Пусть -базисы в n-мерном пространстве V. Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица вида столбцы которой есть координаты векторов базиса в базисе , так что: Замечание. В матричной форме:
Лемма I. 1. Невырожденные матрицы и только они являются матрицами перехода. 2. Если С – матрица перехода от базиса к базису , , то С-1 является матрицей перехода от базиса к базису , при этом Определения. 1. Пусть U; V – линейные пространства над полем К. Говорят, что задан оператор, действующий из U на V, если каждому элементу U поставлен в соответствие, по некоторому правилу, один или более элементов пространства V. Обозначение. 2. Оператор называется линейным, если для справедливо:
Определение. Пусть - базис в Rn. Матрицей линейного оператора (ЛО) называется матрица вида столбцы которой есть координаты векторов в базисе , так что: Замечание. В матричной форме:
Лемма II. Пусть - ЛО с матрицей А в базисе - координаты векторов в этом же базисе, причем. Тогда (4). Теорема 14 (о матрице ЛО при переходе от базиса к базису). Пусть - базисы в Rn , - ЛО с матрицей А в базисе , С – матрица перехода от к базису. Тогда матрица ЛО в базисе вычисляется по формуле:
2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (ЛО) Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором ЛО , если Число называется собственным значением ЛО. Вычисление собств. векторов и собств. значений Пусть А – матрица ЛО; по Лемме II По определению , где Е–единичная матрица. Отсюда (6) Имеем СЛАУ (6. 1)
Получили характеристическое уравнение Находя корни этого уравнения, последовательно подставляют их в СЛАУ (6. 1), и для каждого собственного значения решают СЛАУ. Каждому собственному значению соответствует множество собственных векторов, отличающихся постоянным сомножителем. Замечание. Если собственные значения – различные вещественные числа, то в базисе собственных векторов матрица линейного оператора имеет диагональный вид.
Спасибо за внимание
Скачать презентацию ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА продолжение 1 Матрицы перехода от базиса
Алгебра_л13.ppt