Линейная алгебра. Основные определения Линейные матричные операции
Определение. Матрицей размера m x n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца. Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца (вектор). Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок матрицы).
Квадратная матрица называется диагональной, если элементы отличные от нуля находятся на главной диагонали. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны нулю.
Линейные матричные операции • Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все элементы матрицы. • Суммой двух матриц одинаковой размерности, называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых. • Произведение матриц определяется следующим образом. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если , , (m x n) (n x k) (m x k) то произведением матриц A и B, называется матрица С, элементы которой вычисляются по формуле: c ij =a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j +. . . +a in b nj , i=1, . . . , m, j=1, . . . , k.
Произведение матриц A и B обозначается AB, т. е. C=AB.
• Произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей. • Если AB=BA, то матрицы A и B называются перестановочными. • Возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц дает нулевую матрицу.
ПРИМЕР 1. Выполните действия с матрицами: 2 А-ВА, если ПРИМЕР 2. Проверьте перестановочность матриц А и В; А и С. А и В – перестановочные, А и С – неперестановочные.
Для квадратных матриц определена единичная матрица - квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные - нули: Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или E n, где n порядок матрицы. Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство единичной матрицы: AE=EA=A. Скалярной матрицей называется диагональная матрица с одинаковыми числами на главной диагонали; единичная матрица частный случай скалярной матрицы. Для квадратных матриц определена операция возведения в целую неотрицательную степень: A 0 =E, A 1 =A, A 2 =AA, . . . , A n =A n-1 A, . .
ПРИМЕР 3. Умножение матрицы на матрицы специального вида. 1) А*Е 2) A*C 3) A*P 1 4) A*P 2 C=2*Е ПРИМЕР 4. Возведите матрицу А в нулевую, первую, вторую, и третью степень.
Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу A. Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице и обозначается A T:
. Верны соотношения: (AT )T =A; (A+B)T=AT +BT ; (AB)T =BT AT. Квадратная матрица A, для которой A T =A, называется симметричной. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.
Квадратная матрица A называется обратимой, если существует такая матрица X, что AX=XA=E. Матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A -1, т. е. A A -1 =A -1 A=E. Верно соотношение: (A-1)T =(AT ) -1. ПРИМЕР 5. Проверьте является ли матрица A -1 обратной к матрице A.
Квадратная матрица U, для которой U -1 =U T, называется ортогональной матрицей. Свойства ортогональной матрицы: Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице. Сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице. Сумма произведений элементов любого столбца ортогональной матрицы на соответствующие элементы другого столбца равна нулю. Такими же свойствами обладают строки ортогональной матрицы. ПРИМЕР 6. Докажите ортогональность матриц. Проверьте свойства ортогональной матрицы.
Практическая работа № 1. Действия над матрицами и их свойства в электронных таблицах EXCEL. . Цель работы: • выполнение операций над матрицами в электронных таблицах; • рассмотрение свойств операций над матрицами. Задание: Создать книгу EXCEL с именем «Линейная алгебра» Переименовать лист 1 в «Операции» На листе Операции: Серым цветом выделить области для ввода матриц размерности 4 х4; Выделить цветом области, где поместить формулы выполняющие следующие действия: А+В; А-В; к*А; А*В; В*А. Продемонстрировать свойства, единичной, скалярной и транспонированной матриц: A*I=I*A k*A=k*I*A (AT )T =A; (A+B)T=AT +BT ; (AB)T =BT AT.
Определитель. Свойства определителя. • Пусть A квадратная матрица порядка n, n>1. Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число • det A= = • где Mi k - минор элемента аik • Данная запись представляет собой разложение определителя по i-ой строке. Можно разложить определитель по i-ому столбцу.
• Минором Mi j элемента ai j определителя n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из исходного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент. • Т. е. определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков • Алгебраическим дополнением элемента ai j определителя называется его минор Mi j, взятый со знаком (-1) i + j. Алгебраическое дополнение элемента aij будем обозначать Ai j. Таким образом, Ai j = (-1) i + j Mi j. • Можно определить матрицы миноров и алгебраических дополнений. • Таким образом, определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение det по элементам i-й строки
Определитель второго порядка • ПРИМЕР 1. Вычисление определителя разложением по 1 -ой строке. • Для квадратной матрицы второго порядка формула вычисления определителя упрощается: • поскольку, например, в формуле разложения определителя по 1 -ой строке • M 11 =a 22 , M 12 =a 21.
Определитель третьего порядка • Для квадратной матрицы третьего порядка формула вычисления определителя разложением по 1 -ой строке имеет вид: • • ПРИМЕР 2. Вычисление определителей матриц 2 и 3 порядков. 23 8 0
Правило Саррюса • .
Правило Саррюса • По правилу Саррюса к определителю справа дописывают два первых столбца, а затем считают сумму произведений элементов определителя в одном направлении и из нее вычитают сумму произведений элементов в другом направлении: • Можно убедиться, что результат будет таким же, что и при вычислении определителя по правилу треугольника.
Свойства определителей 1. Определитель не меняется при транспонировании. 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. 3. Если в определителе переставить местами две строки, определитель поменяет знак. 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки или две пропорциональные строки, равен нулю. 5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k. 6. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. 7. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов. Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы. ПРИМЕР 3. Проверьте свойства определителя
Вычислите определители: = -6 = 10 =4 = 66 = bcd(а-3) = 18
Практическая работа № 2. Вычисление определителя в электронных таблицах EXCEL. Cвойства определителя. • Цель работы: – вычисление определителя в электронных таблицах; – рассмотрение свойств определителя. • Задание: В файле с именем «Линейная алгебра» – Переименовать лист 2 в «Определители» – На листе Определители: 1. Серым цветом выделить область для ввода матрицы размерности 4 х4; Выделить цветом области, где поместить формулы, выполняющие следующие действия: 1. Разложение определителя по второму столбцу 2. Вычисление определителя 4 х4. 3. Вычисление определителя 3 х3 по правилу Саррюса. – Продемонстрировать свойства определителя.
Ранг матрицы • Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. • Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. • Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим • Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. • Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение 0 r(A) min (m, n).
При отыскании ранга матрицы А легко заметить, что второй и третий столбцы линейно зависимы, значит, det A = 0 и ранг матрицы меньше 3, однако существует минор порядка два неравный нулю. Следовательно Rg A =2 Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т. е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Отыскание ранга матрицы методом окаймления миноров. Решение. Начинаем с миноров 1 -го порядка, т. е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М 1 = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M 2 = , отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3 -го порядка, окаймляющим М 2. Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: 0. Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.
Отыскание ранга матрицы методом элементарных преобразований • Элементарными называются следующие преобразования матрицы: • 1) перестановка двух любых строк (или столбцов), • 2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число, • 3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число. • Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований. • Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A B.
• Если матрица нулевая, то по определению Rg A =0. В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы необходимо получить ненулевой элемент на а 11 месте. • С помощью элементарных преобразований превращаем матрицу в треугольную с ненулевыми диагональными элементами • На каком-то этапе мы придем к матрице, у которой все строки, после k-ой , равны нулю (или отсутствуют), ранг такой матрицы равен k. • Замечание. В предложенном алгоритме нахождения ранга матрицы все вычисления должны производиться без округлений. Сколь угодно малое изменение хотя бы в одном из элементов промежуточных матриц может привести к тому, что полученный ответ будет отличаться от ранга исходной матрицы на несколько единиц. • Замечание. Если в исходной матрице элементы были целыми числами, то и вычисления удобно производить без использования дробей. Поэтому на каждом этапе целесообразно умножать строки на такие числа, чтобы при вычислениях дроби не возникали.
• Пример. Найти ранг матрицы.
• Найти ранг матрицы А= • Решение. • Очевидно, что ранг полученной матрицы равен 2, а следовательно, и r(A)=2.
Обратная матрица. Матрица А-1 называется ОБРАТНОЙ по отношению к А, если А-1*А = А* А-1 = Е Пример. Проверьте является ли матрица С обратной к матрице С-1: 1) 2)
Вычисление обратной матрицы Если А = А-1 = , то Обратная матрица не существует, если определитель исходной матрицы равен нулю. где Аij – алгебраическое дополнение элементов аij.
Вычисление обратной матрицы А= 1)Вычисляем определитель третьего порядка по правилу Саррюса: det A = (-2)*(-1)*(-6) + (-3)*1*5 – (-1)*1*(-1) – (-2)*(-3)= = -12 -15 -1 + 18= -10=> А-1 существует.
2)Находим алгебраические дополнения: А 11 = А 21 = А 12 = А 22 = А 31 = А 32 = Матрица алгебраических дополнений А 13 = А 23 = А 33 =
3)Находим А-1: А-1 = Проверка: = * * =Е
Для матрицы B найти обратную Матрица алгебраических дополнений
Пример. Вычислите обратную матрицу.
Ещё один способ вычисления обратной матрицы • Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: • Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: • С помощью элементарных преобразований приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие же преобразования над правой матрицей.
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2. Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй. Прибавим третий столбец к первому и второму. Умножим последний столбец на -1: . Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А.
• Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Пример. Найдите обратную матрицу с помощью матрицы алгебраических дополнений 1) Det A =1 3) A-1= 1/det A* Dt 2) Матрица алгебраических дополнений
Пример. Вычислите обратную матрицу.
Практическая работа № 3. Вычисление обратной матрицы в электронных таблицах EXCEL. • • Цель работы: вычисление обратной матрицы в электронных таблицах; рассмотрение свойств обратной матрицы. Задание: В файле с именем «Линейная алгебра» Переименовать лист 3 в «Обратная матрица» На листе Обратная матрица: – – Серым цветом выделить область для ввода матрицы размерности 4 х4; Выделить цветом области, где поместить формулы, выполняющие следующие действия: • • Составить миноры каждого элемента исходной матрицы; Вычислить матрицу миноров; Вычислить матрицу алгебраических дополнений; Транспонировать матрицу алгебраических дополнений; Получить обратную матрицу, умножив транспонированную на 1/det At; – • • • Показать, что для выбранной матрицы существует обратная (Вычислить определитель) Вычислить обратную матрицу; Показать этапы вычисления обратной матрицы: По определению обратной матрицы доказать, что полученная матрица является обратной к данной. . Рекомендации к выполнению работы: Определитель матрицы вычисляется математической функцией МОПРЕД. Обратная матрица вычисляется математической функцией МОБР. Это функция работы с массивами (формула вводится в диапазон 4 х4, завершение ввода формулы Ctrl+Shift+Enter). Отформатируйте области с вычислениями форматом «Дробный» с двумя цифрами в знаменателе. Подробно продемонстрируйте все шаги решения.
Системы линейных уравнений Критерий совместности системы • Система линейных уравнений имеет вид: • a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 n xn = b 1, • a 21 x 1 + a 22 x 2 +. . . + a 2 n xn = b 2, . . . • am 1 x 1 + am 1 x 2 +. . . + amn xn = bm. • Здесь аji и bi (i =m ; j =n ) - заданные, а xj - неизвестные действительные числа. • Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему в виде: • AX = B, • где A = (аi j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы, которая называется матрицей системы, • X = (x 1, x 2, . . . , xn)T и B = (b 1, b 2, . . . , bm)T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных xj и из свободных членов bi.
• Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c 1, c 2, . . . , cn) называется решением системы, если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x 1, x 2, . . . , xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c 1, c 2, . . . , cn)T такой, что AC B. • Система называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. • Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.
• Матрица, образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы. • Вопрос о совместности системы решается следующей теоремой. • Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и расширенной матрицы A совпадают.
Количество решений системы уравнений • Для множества решений системы имеются три возможности: • 1) нет решений (в этом случае система несовместна); • 2) единственное решение (в этом случае система называется определенной); • 3) более чем из одно решение (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система имеет бесчисленное множество решений. • Система имеет единственное решение только в том случае, когда r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m n); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0<r<n, то система является неопределенной.
Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна: 5 x 1 - x 2 + 2 x 3 + x 4 = 7, 2 x 1 + x 2 + 4 x 3 - 2 x 4 = 1, x 1 - 3 x 2 - 6 x 3 + 5 x 4 = 0. • Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу = 7 0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю: • Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т. е. r(A)=2. Для вычисления ранга расширенной матрицы A рассмотрим окаймляющий минор, который не равен нулю. = -35 значит, ранг расширенной матрицы r( A) = 3. Поскольку r(A) r( A), то система несовместна.
Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы
Уравнение с неизвестной матрицей Х называется МАТРИЧНЫМ (3 х3) * (3 х2) = (3 х2)
Решение линейного матричного уравнения методом обратной матрицы: 1) А*Х = В умножим слева на А-1 А*Х = А-1 * В Е*Х = А-1 *В 2) Х*А = В умножим справа на А-1 Х*А* А-1 = В* А-1 Е*Х = В *А-1 Х = В*А-1
Пример решения матричного уравнения при помощи обратной матрицы = = = /умножим на А-1 справа
4)Находим Х=В*А-1 Х= *
Решение системы
Решите систему матричным методом: • Так как определитель матрицы A отличен от нуля, система совместна и определена, т. е. имеет единственное решение. Обратная матрица существует и метод обратной матрицы применим к решению системы.
Пример. Решите матричное уравнение АХ=В
Решите системы уравнений • Анализируя решение получаем, что Rg A = 3, Rg B = 4, т. е. данная система несовместна. • Rg. A = Rg. B = 3 < 4, где 4 - число неизвестных, т. е. система совместна, но неопределённая и имеет бесконечное множество решений. • Rg. A = Rg. B = 3 = n (n - число неизвестных), то есть система имеет единственное решение. Используя последнюю матрицу, запишем данную систему Решая систему, найдем x 3=3; x 2=2; x 1=1. Ответ (1, 2, 3). •
Скачать презентацию Линейная алгебра Основные определения Линейные матричные операции
Линейная алгебра.ppt