Линейная алгебра Лекция 3 доцент Старожилова О. В.
Определитель Вандермонда l l 2 Вандермонд Александр (1735 -1796) – франц. математик. Родился в Париже. Предложив специальный символ определителя изложил теорию детерминантов Его труды были забыты во Франции и обратил внимание Л. Кронекер (немецкий математик уже через 100 лет, он также занимался системами линейных уравнений). 2/17/2018
Вычисление определителя Вандермонда 3 2/17/2018
Разрешимость системы l 4 При этом важен вопрос о разрешимости данной системы, который решается сравнением главного и дополнительных определителей системы с нулем: 2/17/2018
Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. l l 5 Если a 1/a 2=b 1/b 2=c 1/c 2, то система сводится к одному уравнению (например, первому), из которого одно выражается через два других, значения которых остаются произвольными. Если a 1/a 2=b 1/b 2=c 1/c 2 не выполнено, то решения системы находятся по формулам 2/17/2018
. Пример l 6 Каждое решение получается при определенном t Если все определители равны 0, то система сводится к одному уравнению и имеет бесконечно много решений. нулевое решение - тривиальное 2/17/2018
Система трех однородных линейных уравнений с тремя неизвестными. Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями. Если определитель отличен от нуля, то она имеет единственное решение x=0, y=0, z=0. В противном случае она имеет бесконечное множество решений 7 2/17/2018
Метод Крамера l l l 8 Преимущества метода: - простой метод; - независимость вычислений определителей, следовательно, процесс вычисления определителей может быть распараллелен. Недостатки метода: - высокая ресурсоемкость вычислений определителей; - чувствительность к ошибкам округления. 2/17/2018
Решение системы уравнений с помощью Mathcad – – 9 Чтобы определить матрицу, введите с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания. Затем щелкните по кнопке Matrix or Vector Toolbar в панели математических инструментов, чтобы открыть панель операций с матрицами и векторами. определите число строк (Rows) и число столбцов (Columns) и закройте окно диалога, Ok. 2/17/2018
l l 10 Определим матрицу системы A и матрицу правой части b: Найдем по формулам Крамера решение системы линейных уравнений 2/17/2018
l Вычислим определитель матрицы системы A Для нахождения определителя матрицы, воспользуйтесь нопкой Determinant в панели Matrix or Vector Toolbar Для просмотра результата введите знак равенства, используя клавишу <=>. 11 2/17/2018
Определитель отличен от нуля, система имеет единственное решение l 12 Вычисление решения по формулам Крамера 2/17/2018
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ LSOLVE Для численного решения линейных систем уравнений в Math. CAD имеется специальная функция : lsolvе(A, B) l Она решает систему линейных алгебраических уравнений вида А x X =B, выдавая решение - вектор X. А - матрица коэффициентов размерности nxn; В - вектор свободных членов размерности n ; X - вектор неизвестных решений l 13 2/17/2018
Пример 14 2/17/2018
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ GIVEN - FIND l l l l 15 solve block (Блок решения) удобен для решения системы уравнений. Синтаксис Блока решения: Given Уравнения Ограничительные условия Find(v 1, v 2, . . . vn) - возвращает значение одной или ряда переменных для точного решения 2/17/2018
l l l 16 Задаем начальное приближение Заключаем уравнения в блок решения, начинающийся ключевым словом Given и заканчивающийся ключевым словом Find(v 1, v 2, . . . vn). после слова Find(v 1, v 2, . . . vn) ввести знак равенства [=], Math. ACD выдаст численное решение 2/17/2018
Используя вычислительный Given/Find 17 2/17/2018
Умножение матриц l Умножением матрицы на матрицу - матрица, каждый элемент которой равен сумме произведения элементов i -й строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы Произведение матриц определено только для матриц, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В 18 2/17/2018
l 19 Получение элемента при умножении матрицы 2/17/2018
Пример l Найти произведение матриц Решение A·B≠B·A, т. е. умножение матриц друг на друга перестановочным законом не обладает
Пример l Выполнить действия Результат умножения матрица в произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк матрицы А, а число столбцов равно числу столбцов матрицы В 21 2/17/2018
Свойства умножения матриц • Замечание Существуют матрицы, произведение которых не зависит от порядка сомножителей, такие матрицы называют коммутативными. 22 2/17/2018
Обратная матрица Квадратная матрица А-1 определитель которой det. A≠ 0, называется неособенной или невырожденной матрицей. противном случае она называется вырожденной или особенной. В Квадратная матрица называется обратной к квадратной матрице, если выполняется равенство
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная
Правило нахождения обратной матрицы l l 25 Находим определитель матрицы Составим матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы l Транспонируем матрицу Делим на определитель 2/17/2018 Найти обратную матрицу для матрицы
Пример: Найти матрицу, обратную к матрице
Пример: Найти матрицу, обратную матрице А= Найдем определитель исходной матрицы: ∆А= Так как ∆А = 0, то данная матрица не является вырожденной, и для нее нельзя составить обратную матрицу
Пример: Решить систему уравнений
Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы
l Замечание Матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. l Решить матричное уравнение Решение Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения 30 2/17/2018
Обозначения Ранг матрицы. Пусть в матрице произвольно выделено k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель, которой называется минором k-го порядка матрицы. Максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы, называется рангом матрицы и обозначается r(A). Любой минор порядка r, отличный от нуля, называется базисным минором.
l 32 Замечание Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы принимают равным нулю l Вычислить ранг матрицы содержит единственный ненулевой элемент 2/17/2018
Пример: Найти ранг матрицы
Методы вычисления ранга матрицы - метод окаймляющих миноров Пусть в матрице найден минор k-го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k+1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор , если все они равны нулю, то ранг минора равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)-го порядка, и вся процедура повторяется.
Пример: Найти ранг матрицы
Элементарные преобразования матрицы l Ранг матрицы не изменится от следующих преобразований l - замены строк столбцами, а столбцов соответствующими строками; - перестановки строк матрицы; - вычеркивания строки, все элементы которой равны нулю; - умножения строки на число, отличное от нуля; - прибавления к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на одно и то же число. l l l 36 Замечание сама матрица при элементарных преобразованиях меняется 2/17/2018
l l 37 При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической 2/17/2018
Решения системы линейных уравнений общего вида. Системы m линейных уравнений с n неизвестными l 38 Определение Расширенной матрицей системы линейных уравнений называется матрица , отличающаяся от матрицы системы наличием дополнительного столбца из свободных членов Решить систему - значит, найти все ее решения (в случае неопределенной системы – указать правило, по которому можно найти любое ее решение, т. е. дать формулу общего решения) или доказать ее несовместность. 2/17/2018
l l 39 Капелли Альфредо (1855 – 1910) итальянский математик Леонид Кронекер (1823– 1891), немецкий математик Лекции Кронекера считал основой математики число, а основой всех чисел – натуральное число, Известно его заявление : «Целые числа сотворил Бог, а все прочее – дело рук человеческих» . 2/17/2018 Леонид Кронекер
Совместность систем уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.
Теорема (Кронекера-Капелли). (условие совместности системы) l Система линейных уравнений является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Rg. A = Rg. A*. 41 2/17/2018
Общий порядок решения системы общего вида. l l l 42 определить ранги матрицы системы и расширенной матрицы . что если ранги этих матриц не совпадают, то система не совместна и нет смысла ее решать. Для совместных систем линейных уравнений справедливы следующие теоремы: - Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных r=n , то система имеет единственное решение. - Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т. е. r<n, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений. 2/17/2018
Исследование системы линейных уравнений 43 2/17/2018
Пример: Установить совместимость системы
Скачать презентацию Линейная алгебра Лекция 3 доцент Старожилова О В
линейная алгебра 3.ppt