Линейная алгебра Лекция 21 11 2014 г

Линейная алгебра Лекция 21. 11. 2014 г.

Содержание • Основные понятия алгебры матриц. • Определители, вычисление, свойства определителей. • Операции над матрицами. • Обратная матрица. • Ранг матрицы. Базисный минор.

Определение матрицы • Определение. Матрицей А размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются её элементами. • Элементы матрицы А обозначаются как aij, где i - номер строки, j - номер столбца, на пересечении которых располагается данный элемент,

Обозначение матрицы

Виды матриц Квадратная матрица, m=n Главная диагональ Побочная диагональ Сумма элементов главной диагонали называется шпуром (следом) матрицы Нижняя треугольная матрица Верхняя треугольная матрица

Виды матриц Диагональная матрица Единичная матрица Нулевая матрица

Виды матриц Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой, матрица, состоящая из одного столбца – вектором-столбцом. Трапецеидальная матрица

Определитель матрицы Определение. Перестановкой J n-го порядка называется всякое расположение n чисел 1, 2, …, n. Общее число перестановок равно n!=1 2 3 … (n-1) n Перестановка (1 2 3 4 … n) называется нормальной. Беспорядком или инверсией в перестановке J называется наличие пары чисел, в которых большее число предшествует меньшему. Число инверсий в перестановке J обозначим r(J). Если это число чётное, то перестановка называется чётной, иначе – нечётной. Пример. Число инверсий в перестановке (3 6 5 2 4 1) равно 2+4+3+1+1+0=11.

Определитель матрицы Определителем (детерминантом) n-го порядка квадратной матрицы A называется число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причём знак каждого члена определяется как , где r(J)-число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы (j 1 j 2 … jn), если при этом номера строк записаны в порядке возрастания:

Определитель 2 -го порядка Мнемоническое правило: определитель 2 -го порядка равен разности произведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочной диагонали.

Определитель 3 -го порядка

Мнемоническое правило треугольников Сарруса

Мнемоническое правило диагоналей Сарруса

Миноры и алгебраические дополнения Минором Mij элемента aij квадратной матрицы А n-го порядка называется детерминант матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А путём вычёркивания i-ой строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением (адъюнктом) Aij элемента aij квадратной матрицы A n-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j : Aij = (-1)i+j Mij.

Теорема Лапласа (теорема разложения). Детерминант квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Пример применения теоремы Лапласа

Свойства определителя n-го порядка. • Если какая-либо строка (столбец) матрицы А состоит из одних нулей, то det A=0. • При перестановке двух строк (столбцов) матрицы её детерминант меняет знак на противоположный. • Если матрица А содержит 2 одинаковые строки (столбца), то det A=0. • Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак детерминанта. • Если элементы двух строк (столбцов) матрицы А пропорциональны, то det A = 0. • Линейность детерминанта. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) детерминанта представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот детерминант равен сумме двух детерминантов. • Детерминант матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число. . • Детерминанты треугольных и диагональной матриц равны произведению элементов главной диагонали.

Метод накопления нулей

Операции над матрицами • Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой • Суммой двух матриц A и В одинакового размера m n называется матрица , элементы которой. • Разность двух матриц одинакового размера mxn определяется через предыдущие операции: A – B = A + (-1) B.

Свойства операций сложения матриц и произведения матрицы на число. • A + B = B + A; • (A + B) + C = A + (B + C); • • • , A-матрица размера nxn.

Умножение матрицы A на матрицу B определено, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B (условие сцепления). В этом случае матрица A называется согласованной с матрицей B. Произведением матриц A размера mxn и B размера nxk называется матрица С размера mxk, элементы которой равны скалярным произведениям векторов-строк матрицы A на векторы-столбцы матрицы B:

Умножение матриц. Пример.

Свойства произведения матриц Произведение вектора-строки на матрицу - это вектор-строка Пример.

Свойства произведения матриц Произведение вектора-столбца на вектор-строку- это матрица Пример.

Свойства произведения матриц Произведение вектора-строки на вектор-столбец- это число Пример.

Свойства произведения матриц 1. (AB)C = A(BC) 2. (A+B)C = AC+BC 3. A(B+C) = AB+AC 4. 5. AЕ = A 6. ЕA=A 7. 8. 9. некоммутативность 10. det(A·B)=det. A·det. B 11. существуют делители нулевой матрицы

Транспонирование матриц Матрица матрице называется транспонированной к если обозначается: B =AT Пример. и

Свойства операции транспонирования матриц 1. 2. 3. 4. 5. det(AT)=det. A

Обратная матрица • Квадратная матрица А называется вырожденной (невырожденной), если det. A=0 (det. A 0). • Матрица называется правой (левой) обратной к матрице , если АВ=Е (CA=Е). • Теорема. Если для матрицы А существуют левая обратная матрица С и правая обратная матрица B, то С=B. • Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если при умножении матрици A-1 на данную матрицу А как справа, так и слева, получается единичная матрица:

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной.

Продолжение следует …