Линейная алгебра Крылова Е В 2005

Линейная алгебра © Крылова Е. В. , 2005

Определения Матрица – это произвольная система чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы. Элементы матрицы – это числа, ее составляющие. Ряд чисел, расположенных в матрице горизонтально, называется строкой матрицы, а вертикально - столбцом. © Крылова Е. В. , 2005

Определения Количество строк в матрице обычно обозначается m, количество столбцов – n. Количество элементов в матрице называется размерностью матрицы и обозначается m × n. © Крылова Е. В. , 2005

Обозначение Матрица - А, B, C, … , элемент (i – номер строки, j – номер столбца) © Крылова Е. В. , 2005

Определения Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер, и элементы, стоящие на одинаковых местах, совпадают. A = B <=> aij = bij © Крылова Е. В. , 2005

Определения Если количество строк матрицы равно количеству ее столбцов (m = n), то матрица называется квадратной порядка n. - квадратная матрица А порядка 3 Главная диагональ квадратной матрицы – диагональ, состоящая из элементов, у которых номер строки равен номеру столбца. © Крылова Е. В. , 2005

Определения Квадратная матрица Е называется единичной матрицей, если элементы ее главной диагонали равны 1, а остальные элементы - 0. © Крылова Е. В. , 2005

Сложение и вычитание матриц Суммой (разностью) матриц А и В одинакового размера называется матрица С, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В. С = А ± В <=> cij = aij ± bij © Крылова Е. В. , 2005

Пример + - = = © Крылова Е. В. , 2005

Произведение матрицы на число Произведением матрицы А на число λ называется матрица В, элементы которой получены из элементов матрицы А умножением на число λ. В = λ <=> bij = λ ij А a 2 = © Крылова Е. В. , 2005

Умножение матриц 1. Произведение матриц А и В определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В остальных случаях произведение матриц невозможно. 2. Это действие некоммутативно, то есть А В ≠ В А. Произведением матриц А и В называется матрица С, в которой каждый элемент сij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. © Крылова Е. В. , 2005

Пример . . . = 13+21+3(-2) 12+2(-1)+33 23+(-1)1+2(-2) 22+(-1)+23 = -1 9 1 = 11 © Крылова Е. В. , 2005

Пример . . = 31+22 = . . 32+2(-1) 33+22 11+(-1)2 12+(-1) 13+(-1)2 (-2)1+32 (-2)2+3(-1) (-2)3+32 7 = 4 -1 3 = 11 1 4 -7 0 © Крылова Е. В. , 2005

Транспонирование матрицы Матрица АТ называется транспонированной к матрице А, если ее строки являются столбцами матрицы А с теми же порядковыми номерами. А AT <=> аij aji © Крылова Е. В. , 2005

Тема № 3 Определитель квадратной матрицы Определитель – это число, связанное с этой матрицей и вычисляемое по ее элементам. 1. Если n = 1, то |A| = a 11 (определитель первого порядка) 2. Если n = 2: , то (определитель второго порядка) © Крылова Е. В. , 2005

Определитель квадратной матрицы 3. Если n > 2: Определителем матрицы А называется число, равное сумме произведений элементов его первой строки на их алгебраические дополнения. © Крылова Е. В. , 2005

Определитель квадратной матрицы Аij – алгебраическое дополнение элемента aij - определитель, полученный из определителя |A| вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца © Крылова Е. В. , 2005

Свойства определителя 1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы: |A|=|AT|. 2. Если одна из строк или один из столбцов определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. 3. От перестановки двух строк или двух столбцов определитель меняет только знак. © Крылова Е. В. , 2005

Свойства определителя 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки или два одинаковых столбца, равен нулю. 5. Если все элементы некоторой строки или столбца определителя умножить на число k ≠ 0, то сам определитель умножится на это число. 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю. © Крылова Е. В. , 2005

Пример Найти определитель матрицы Решение: . = © Крылова Е. В. , 2005

Пример © Крылова Е. В. , 2005

Пример Замечание: при разложении определителя по элементам любого ряда его значение не меняется! © Крылова Е. В. , 2005

Обратная матрица Квадратная матрица А-1 называется обратной матрице А, если А × А-1 = А-1 × А = Е. |А| - определитель матрицы А - матрица, составленная из алгебраических дополнений - транспонированная матрица © Крылова Е. В. , 2005

Пример Найти обратную матрицу для 1. Находим |A|: 2. Находим алгебраические дополнения для каждого элемента: 3. Составляем : 4. Находим : 5. © Крылова Е. В. , 2005

Пример Проверка: . . = = . . 1 0 0 1 = Е . . = = 1 0 0 1 = Е © Крылова Е. В. , 2005

Определения Системой линейных уравнений (СЛУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида: x 1…xn - неизвестные a 11…amn – заданные коэффициенты при неизвестных b 1…bm – заданные свободные члены © Крылова Е. В. , 2005

Определения - - столбец неизвестных матрица системы уравнений - столбец свободных членов © Крылова Е. В. , 2005

Формы записи СЛУ • матричный вид: • векторный вид: © Крылова Е. В. , 2005

Пример Записать в разных формах СЛУ: • матричный вид: • векторный вид: © Крылова Е. В. , 2005

Определения Решением системы линейных уравнений называется такой набор значений неизвестных, то есть столбец , при подстановке которого в СЛУ каждое уравнение превращается в верное тождество. © Крылова Е. В. , 2005

Определения СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если СЛУ не имеет ни одного решения, она называется несовместной. Совместная СЛУ называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если решений больше, чем одно. СЛУ называется однородной, если в столбце свободных членов все элементы нулевые. Если же в столбце свободных членов есть хотя бы один ненулевой элемент, система называется неоднородной. © Крылова Е. В. , 2005

Правило Крамера для решения СЛУ Пусть система имеет квадратную матрицу А, определитель Δ которой отличен от нуля. Тогда система имеет единственное решение , которое может быть найдено по формулам: © Крылова Е. В. , 2005

Правило Крамера для решения СЛУ – решение СЛУ Δ – определитель матрицы А Δj - определитель, полученный из Δ заменой в нем j-го столбца на столбец свободных членов © Крылова Е. В. , 2005

Правило Крамера для решения СЛУ Если Δ ≠ 0, то СЛУ имеет единственное решение. Если Δ = Δ 1 = … = Δ n = 0, то СЛУ имеет бесконечное множество решений. Если Δ = 0, а хотя бы один из Δ 1…Δ n ≠ 0, то СЛУ не имеет решений. © Крылова Е. В. , 2005

Пример Решить СЛУ методом Крамера: © Крылова Е. В. , 2005

Матричный метод решения СЛУ Пусть система имеет квадратную матрицу А, определитель Δ которой отличен от нуля. Тогда система имеет единственное решение , которое может быть найдено по формуле: © Крылова Е. В. , 2005

Пример Решить СЛУ матричным методом: Решение: © Крылова Е. В. , 2005

Метод Гауса для решения СЛУ Это метод последовательного исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований СЛУ. Элементарными называются следующие преобразования СЛУ: 1) перестановка уравнений; 2) перенумерация переменных; 3) умножение или деление какого-либо уравнения на произвольное число; 4) прибавление к какому-либо уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число. © Крылова Е. В. , 2005

Пример Цель: под главной диагональю матрицы А получить нулевые элементы Пример 1: Решить СЛУ методом Гауса: © Крылова Е. В. , 2005

Пример Шаг 1: умножим последовательно 1 -ое уравнение на 1 и -2, и затем прибавим соответственно ко 2 -му и 3 -му уравнениям: ×-2 × 1 + + Получаем: © Крылова Е. В. , 2005

Тема № 4 Пример Шаг 1: умножим 2 -ое уравнение на 3, и затем прибавим к 3 -му уравнению: × 3 + Получаем: © Крылова Е. В. , 2005

Пример Снизу вверх находим решение СЛУ: Ответ: © Крылова Е. В. , 2005

Пример 2: Решить СЛУ методом Гауса: © Крылова Е. В. , 2005

Пример Шаг 1: умножим 1 -ое уравнение на 1, и затем прибавим к 2

Пример Шаг 2: умножим 2 -ое уравнение на 1, и затем прибавим к 3 -му уравнению: × 1 + Получаем: В последнем уравнении содержится противоречие, следовательно СЛУ не имеет решений. © Крылова Е. В. , 2005

Пример 3: Решить СЛУ методом Гауса: © Крылова Е. В. , 2005

Тема № 4 Пример Шаг 1: умножим 1 -ое уравнение на 1, и затем прибавим к 2 -му уравнению: × 1 + Получаем: © Крылова Е. В. , 2005