Линейная алгебра и аналитическая геометрия Векторная алгебра Элементы

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Векторная алгебра. Элементы теории линейных пространств • Векторы • Линейные операции на множестве векторов • Линейное пространство и подпространство

Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории линейных пространств и линейных операторов Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В векторной алгебре изучаются: - линейные операции над свободными векторами (сложение векторов и умножение вектора на число); - различные произведения векторов (скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное и двойное векторное). В векторном анализе изучают векторы, являющиеся функциями одного или нескольких скалярных аргументов.

1. Определение вектора

2. Операции над векторами

Понятие линейного пространства 1. Определение и примеры Пусть L – некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на числа из F (где F – множество рациональных, действительных или комплексных чисел). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Множество L называется линейным пространством над F если для любых элементов a, b, c L и для любых чисел , F выполняются условия: 1. a+b=b+a (коммутативность сложения элементов из L); 2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения элементов из L); 3. Во множестве L существует такой элемент o, что a+o=a. Элемент o называют нулевым элементом множества L; 4. Для любого элемента a L элемент –a L такой, что a+(–a)=o. Элемент –a называют противоположным к a; 5. ( a)=( )a (ассоциативность относительно умножения чисел);

6. ( + )a= a+ a (дистрибутивность умножения на элемент из L относительно сложения чисел); 7. (a+b)= a+ b (дистрибутивность умножения на число относительно сложения элементов из L); 8. 1 a=a. Линейное пространство над ℝ называют еще вещественным (действительными) линейным пространством, а над ℂ – комплексным. ЛЕММА 2. Пусть L – линейное пространство над F. Тогда для любых элементов a, b L и любых чисел , F справедливы следующие утверждения: 1) 0·a = o, ·o = o; 2) (– ) · a = ·(–a) = – a, (– ) ·(–a) = a; 3) ·(a–b) = a – b, ( – ) · a = a – a. Наряду с термином «линейное пространство» используется также термин «векторное пространство» , а элементы линейного пространства принято называть векторами.

2. Подпространства линейных пространств Пусть L – линейное пространство над F, L 1 – непустое подмножество в L. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что L 1 является подпространством линейного пространства L (или линейным подпространством), если оно само образует линейное пространство относительно операций, определенных на L. Если L 1 является подпространством линейного пространства L, то пишут: L 1 ≤ L ТЕОРЕМА 3 (критерий подпространства). Пусть L – линейное пространство над F, L 1 – непустое подмножество в L. L 1 является подпространством линейного пространства L тогда и только тогда, когда для любых элементов a, b L 1 и любого F выполняются условия: 1) a – b L 1; 2) ·a L 1.

3. Линейная зависимость векторов. Базис на плоскости и пространстве.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом этого линейного пространства. Иначе говоря, векторы e 1, e 2, …, en L образуют базис в линейном пространстве L если выполняются два условия: 1) e 1, e 2, …, en– линейно независимы; 2) e 1, e 2, …, en , a – линейно зависимы для любого вектора a из L. ТЕОРЕМА 8. Любые два базиса линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов. Если в линейном пространстве L существует базис из n векторов, то пространство называют конечномерным, а n называют размерностью линейного пространства (пишут: dim. L = n). Если в линейном пространстве L для любого натурального n можно найти линейно независимую систему векторов, то пространство называют бесконечномерным (пишут: dim. L= ). ТЕОРЕМА 9. (о базисе). Каждый вектор линейного пространства линейно выражается через любой его базис, причем единственным образом.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Векторная алгебра. Элементы теории линейных пространств • координаты вектора, • простейшие задачи векторной алгебры, • скалярное произведение векторов.

Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ координат свободных векторов в декартовом прямоугольном базисе: ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано направление, называют осью.

Простейшие задачи векторной алгебры Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова прямоугольная система координат. Выберем в пространстве V(3) (V(2)) декартов прямоугольный базис i, j, k (i, j).

ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его координаты в декартовом прямоугольном базисе.

ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты его орта. Геометрический смысл координат орта вектора

Это равенство называют основным тождеством для направляющих косинусов вектора.

Решение:

Выразим направляющие косинусы вектора через его координаты. Имеем:

ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении.

Решение:

Нелинейные операции на множестве векторов 1. Скалярное произведение векторов СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1) Скалярное произведение векторов коммутативно, т. е.

3) Числовой множитель любого из двух векторов можно вынести за знак скалярного произведения. Т. е. 4) Если один из векторов записан в виде суммы, то их скалярное произведение тоже можно записать в виде суммы. Т. е.

5) Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат вектора) равно квадрату его длины. Т. е. Формулу (1) называют выражением скалярного произведения через декартовы координаты векторов.