Линейная алгебра • 0. Прикладные задачи линейной алгебры • 1. Вектор: определения; свойства • 2. Матрицы: классификация; свойства, операции • 3. Числовые характеристики матриц: • определитель, минор, след, ранг • алгебраическое дополнение • 4. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): • формы записи, классификация • решение СЛАУ 1
0. Прикладные задачи линейной алгебры. Примеры Пример 0. 1. Мебельная фабрика производит столы, стулья, кресла, кровати. Объем годового выпуска каждого вида продукции задан таблично: Продукция Годовой объем Столы Стулья Кресла 10000 2000 Кровати 500 Пример 0. 2. В объединении две мебельные фабрики, которые производят столы, стулья, кресла, кровати. Годовой объем производства задан таблично Продукция Столы Стулья Кресла Кровати 1 -я фабрика 10000 2000 500 2 -я фабрика 2500 12000 1000 Данные первой таблицы могут быть описаны вектором, данные второй таблицы могут быть описаны матрицей 2
0. Прикладные задачи линейной алгебры. Пример 0. 3 Предприятие выпускает продукцию трех видов Р 1, Р 2, Р 3 и использует сырье двух типов S 1 и S 2. Известны: - Стоимость единицы сырья каждого типа - План производства продукции каждого вида - Цена единицы продукции каждого вида - Расход сырья каждого типа для производства единицы продукции каждого вида Все данные занесены в таблицу. Продукция План производства 1 типа 2 типа Стоимость единицы продукции 1 -го вида 100 2 3 200 2 -го вида 80 5 2 300 3 -го вида 130 1 4 150 30 50 Стоимость единицы сырья Расход сырья 3
Пример 0. 3. Продолжение Продукция План производства Расход сырья 1 типа 2 типа Стоимость единицы продукции 1 -го вида 100 2 3 200 2 -го вида 80 5 2 300 3 -го вида 130 1 4 150 10 10 Стоимость единицы сырья - План производства, вектор ПП 3=(100, 80, 130) Стоимость единицы продукции, вектор СП 3 =(200, 300, 150) Стоимость единицы сырья, вектор СС 2 = (10, 10) Расход сырья на ед. продукции, технологическая матрица А 3, 2 4
1. Вектор: определения; свойства Вектор размера n – совокупность n чисел, заданных в определенном порядке. Имя вектора – любая латинская или греческая буква, например а, х, у. Обозначается Числа a 1 , a 2 , …. an – компоненты вектора; n - его размерность. Единичный вектор – все его компоненты равны 1. Обозначается 1 Нуль-вектор - все его компоненты равны 0. Обозначается 0. Противоположный вектор – a = (-a 1, -a 2 , …. -an). Очевидно 5
1. Вектор: основные операции и их свойста 1. Алгебраическая сумма двух векторов = алгебраической сумме их компонент. Свойства операции сложения векторов: -коммутативность a +b = b +a ; ассоциативность (а +в) +с = а + (в +с) 2. Умножение вектора на число – умножение каждой компоненты на это число. Основные свойства операции: - ассоциативность: α(βа) = (α βа) ; - дистрибутивность относительно векторного и числового сомножителей: (λ+ β)ā = λā + βā; β(ā +b ) = βā +βb 3. Скалярное произведение двух векторов – число, равное сумме произведений одноименных координат данных векторов < a, b > = a 1 b 1 + a 2 b 2 +…anbn 4. Основные свойства скалярного произведения: < a, b >=< b , a>; β< a, b >= < βa, b > ; < a+ b, с>=< a, с>+ <b, с> ; < a, a> >=0 5. Длина вектора 6. Угол между ненулевыми векторами 6
Вектор. Алгебраическая сумма. Пример 1 В производственное объединение входят две мебельные фабрики. Объем годового выпуска продукции каждой фабрики составляет: Продукция/ Фабрика столы стулья кресла кровати вектор 1 10000 2000 500 a 2 2500 12000 1000 b Вектор a = (1000, 10000, 2000, 500) Вектор b = (2500, 12000, 1000) Тогда вектор с – годовой выпуск объединения равен С=a + b= b + a = (3500, 22000, 4000, 1500) Очевидно, если объем годового выпуска первой фабрики возрастет вдвое, то вектор a = (2000, 1000) 7
Скалярное произведение двух векторов – число < a, b > = a 1 b 1 + a 2 b 2 +…anbn Пример 2. Пусть вектор цен трех видов продуктов, вектор Р Р = (10, 30, 50), а вектор весов каждого вида товара, вектор Х равен Х = (1, 2, 0. 5). Тогда стоимость покупки Q можно определить как скалярное произведение двух векторов Q = < p, х > = р 1 х1 + р2 х2 + р3 х3 = 10+60+25 = 95 ден. ед. 8
2. Матрицы. Определения. Классификация Матрица размера m x n – совокупность чисел прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов. Обозначается А= или А=(a I, j), i=1, 2…m; j= 1, 2…n Числа a i, J – элементы матрицы, строки и столбцы – ее ряды. Множество всех матриц размера m x n обозначается Rmxn, А= Rmxn 9
2. Матрицы. Определения. Свойства 1. Две матрицы А и В одного и того же размера равны, если равны соответствующие элементы, аi, j = bi, j 2. Вектор – столбец – матрица, состоящая из одного столбца 3. Вектор – строка – матрица, состоящая из одной строки 4. Нулевая матрица – все ее элементы =0; обозначатся Оmxn 5. Квадратная матрица – m=n (число строк равно числу столбцов) 6. Главная диагональ квадратной матрицы – элементы аi, i , лежащие на главной диагонали 7. Треугольная матрица – квадратная матрица, такая, что все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. 8. Единичная матрица Е – все ее элементы, расположенные на главной диагонали аi, j =1, остальные элементы равны нулю. 10
2. Матрицы. Определения. Свойства 9. Транспонированная матрица Аt – матрица, полученная из исходной матрицы А заменой строк на столбцы с сохранением порядка. 10. Алгебраическая сумма двух матриц А= (аi, j) и В= (bi, j ) одного и того же размера – матрица C=A ± B , С = (сi, j ) того же размера, элементы которой равны алгебраической сумме соответствующих элементов исходных матриц – сi, j= аi, j ± bi, j 11. Произведение матрицы на число – все элементы исходной матрицы умножаются на это число. В=2 А (bi, j =2 ai, j ). Очевидное следствие : общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы 12. Произведение двух матриц А и В, матрица С=AB. Произведение имеет смысл, если число столбцов первого сомножителя (например А) совпадает с числом строк Второго сомножителя В. Если А= Rmxn (m строк, n столбцов), В= Rnxk (n строк, k cтолбцов) , то С = АВ = Rmxk (m строк, k столбцов). 11
Основные свойства произведения матриц Операция произведения двух матриц обладает следующими свойствами: 1. (AB)C= A(BC); α(AB)= (αA)B; (A+B)C=AC+BC; 2. (AB)t = Bt At ; 3. AE=EA=A 4. AB ≠BA в общем случае. Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными. 5. Квадратную матрицу А можно возвести в квадрат, куб, в к –ую степень, получить Ак 6. А 0 =Е 12
Пример 2. Предприятие выпускает продукцию трех видов Р 1, Р 2, Р 3 и использует сырье двух типов S 1 и S 2. Матрица А 3 х2 (технологическая) показывает, сколько единиц сырья jго типа расходуется на производство продукции i-го вида. План выпуска продукции задан вектором- строкой С, Стоимость единицы сырья каждого типа задается вектором – столбцом В Технологическая План выпуска Стоимость единицы матрица сырья А= С= Матрица – строка затрат сырья S =CA= В= = Общая стоимость сырья Q = SB = =730*30 + 980*50 = 70900 (ден. ед. ) 13
3. Основные числовые характеристики квадратных матриц. Определитель и его свойства 1. Определитель квадратной матрицы Anxn – число, которое вычисляется по определенным правилам Определитель обозначается det или. 2. Основные правила вычисления определителей: 1) Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов 2) Общий множитель строки (столбца)можно вынести за знак определителя 3) Если к одной из строк прибавить другую строку (к одному из столбцов прибавить другой столбец), то определитель не измениться 4) Если все элементы строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю 14
Основные числовые характеристики квадратных матриц. Определитель – основные свойства. 5) Если к строке матрицы прибавить другую строку матрицы, умноженную на число, то определитель не измениться 6) Если поменять местами две строки (два столбца) матрицы, то ее определитель поменяет знак 7) Если матрица имеет две одинаковые строки (столбца), то определитель равен нулю Запомните: Квадратная матрица, определитель которой равен нулю называется вырожденной. 8) В общем случае определитель вычисляется разложением по элементам строки (столбца). Для этого вычисляют соответствующие миноры и алгебраические дополнения - минор Mij элемента aij квадратной матрицы А n–го порядка определитель квадратной матрицы (n-1)-го порядка, полученной из А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца - алгебраическое дополнение элемента aij квадратной матрицы А n–го порядка Aij =((-1)i+j)* Mij 15
Основные числовые характеристики квадратных матриц. Определитель матрицы. Ранг матрицы. След матрицы Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения Ранг матрицы r(A) - наибольший из порядков миноров матрицы, отличных от нуля. Выполняется соотношение 0≤ r(A)≤min (m, n). Минор порядка r называется базисным. След матрицы ( tr A ) - сумма элементов главной диагонали. 16
Обратная матрица • Пусть А – квадратная матица. Если существует матрица В, такая, что АВ=Е, то говорят, что В – обратная матрица. • Обратную матрицу обозначают А-1. Очевидно, (А-1)-1 =А • Обратная матрица перестановочна с исходной, т. е А А-1 = А-1 А = Е Нахождение коэффициентов обратной матрицы bi, j связано с решением системы линейных алгебраических уравнений вида А А -1 =Е, с заданными коэффициентами исходной матрицы А и неизвестными коэффициентами обратной матрицы A-1 ij 17
Обратная матрица Коэффициенты обратной матрицы bi, j по следующему алгоритму: 1. Находят определитель матрицы │A│, 2. Если матрицы , то вычисляют коэффициенты присоединенной 3. Вычисляют коэффициенты обратной матрицы Пример: 18
4. Системы линейных алгебраических уравнений Система из m уравнений первой степени с n неизвестными может быть записана (*) Или в матричной форме AX = b (*) где A=(ai, j) – матрица коэффициентов при неизвестных системы, X – вектор неизвестных системы, b – вектор свободных членов. Система (*) называется однородной, если все bi равны нулю. В противном случае система неоднородна. Система является совместной, если она имеет решение и несовместной (противоречивой) в противном случае. 19
Решение системы ЛАУ Решением системы (*) являетс любая совокупность чисел β 1, β 2, …. βn, , если при их подстановке в уравнение системы на место соответствующих неизвестных все уравнения обращаются в тождества. Решение (β 1, β 2, …. βn) неотрицательно, если все его компоненты неотрицательны. Матрица • • • = называется расширенной матрицей системы. Система линейных алгебраических уравнений совместна только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу матрицы (теорема Кронекера – Капели. ) 20
Решение СЛАУ Для множества решений системы (*) имеются три возможности: 1). Система не имеет решения, система несовместна – r(A)≠r( ) 2). Система имеет единственное решение, система определена r(A)=n 3). В случае r(A)<n, система имеет бесчисленное множество решений (неопределенная система). В этом случае r переменных (базисные переменные) выражаются через n- r переменных (свободные переменные). 21
Общее, базисное, частное решение СЛАУ В общем случае СЛАУ имеет размерность mxn (m – число уравнений, n – число переменных). В зависимости от соотношения m и n , ранга системы возникают различные классы задач. При этом анализируется соответствие между m и n. При m < n, число уравнений меньше числа неизвестных. 1. r < m - уравнения системы зависимые 2. r = m - уравнения системы независимые 3. r(A)≠r( ) – система несовместная 4. r(A) = r( )= r – система совместная 5. r < n – система совместная, неопределенная, имеет бесконечное количество решений. Базисные и свободные (независимые) переменные 7. r = n – система определенная, совместная. Имеет единственное решение 22
Методы решения СЛАУ • Существует несколько способов решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). • 1. Метод Крамера. Применяется для решения невырожденных матриц (определитель системы не равен нулю • 2. Метод обратной матрицы • 3. Метод Гаусса , метод исключения переменных. Является универсальным методом решения СЛАУ. • 4. Метод Жордана – Гаусса. Модификация метода Гаусса. Применяется для решения задач, в которых m<n. Позволяет найти базисные и свободные переменные СЛАУ • 5. Численные методы последовательных приближений 23
1. Метод Крамера Описание. Примеры • Для системы линейных уравнений с n неизвестными (*) с определителем , отличным от нуля. Решение записывается в виде 24
1. Метод Крамера Описание. Примеры Пусть n=3 и система (*) описана Определители Решение 25
1. Метод Крамера. Пример • Дана СЛАУ • Определители • Решение 26
2. Метод обратной матрицы • Применяется для решения невырожденных СЛАУ с числом уравнений, равным числу переменных, m=n. • Вычисляют определитель и обратную матрицу системы. Тогда вектор неизвестных X равен • • X = A -1 B 27
2. Метод обратной матрицы. Пример 4 Дана СЛАУ. Тогда Решение системы 28
Метод Гаусса (метод исключения переменных) Может применяться как в случае, когда m=n, так и m≠n. Метод заключается в последовательном исключении переменных, к преобразованию исходной системы к верхне треугольному виду. Рассмотрим примеры метода Гаусса Пример 5. Рассмотрим решение примера 4 методом Гаусса Так как в данном примере ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы, то система совместная. Так как ранг матрицы равен количеству независимых переменных, то система имеет единственное значение 29
Пример 5. Продолжение 1. Исключаем из второго и третьего уравнения переменную x 1 Для этого сначала умножаем первое уравнение на –a 21 и складываем со вторым, затем умножаем первое уравнение на –a 31 и складываем с третьим. В результате получаем 2. Исключаем x 2. Для этого умножаем вторую строку на -2/3 и складываем с третьей. Получаем Тогда x 1=4; x 2=2; x 3=1 30
Базисные и свободные переменные Рассматривается случай m < n , система совместная, r < n Базисные (основные ) переменные - r переменных, которые могут быть выражены через ( n-r) свободных (неосновных) переменных. Базисные переменные должны входить в полный набор разрешенных переменных. К разрешенным относят переменные, входящие только в одно уравнение с коэффициентом 1, а в другие уравнения – коэффициентом 0. Например, в примере ниже разрешенными, а, следовательно, базисными, могут быть переменные x 1, x 2 , x 5. С другой стороны ранг системы r = 2, Следовательно есть два набора базисных переменных (x 1, x 2 ) и ( x 2 , x 5 ) 31
Базисные и свободные переменные Продолжим рассмотрение примера. Выберем в качестве базисных переменные x 1 и x 2 Тогда общее решение будет выглядеть так: Приравняв свободные переменные к нулю, получим базисное решение Приравняв свободные переменные произвольным константам, получим одно их частных решений, например X 3 =0, X 4=1, X 5=2 получим 32
Элементарные преобразования СЛАУ приводятся к равносильным разрешенным системам с помощью элементарных преобразований 1. Если какое-либо уравнение системы умножить на некоторое отличное от нуля число, а остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной. 2. Если к какому-либо уравнению системы прибавить другое, а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной 3. Если к какому-либо уравнению прибавить другое, умноженное на некоторое число, а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной. 4. Если система уравнений содержит тривиальное уравнение, то его можно исключить из системы, при этом получится система равносильная исходной. 33
Скачать презентацию Линейная алгебра 0 Прикладные задачи линейной алгебры
Линейная алгебра.ppt