Лектор Лукин Алексей Сергеевич Вейвлеты и банки фильтров

Лектор: Лукин Алексей Сергеевич Вейвлеты и банки фильтров

План n Вейвлеты и их связь с банками фильтров ► Непрерывное вейвлет-преобразование ► Дискретное вейвлет-преобразование ► Квадратурные зеркальные фильтры ► Пирамидальное представление данных n n Банки фильтров: DFT, MDCT Применения банков фильтров ► Аудиоэффекты ► Шумоподавление ► Компрессия звука и изображений

Понятие вейвлета n Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные копии ψa, b(t) ( «дочерние вейвлеты» ) некоторой быстро затухающей осциллирующей функции ψ(t) ( «материнского вейвлета» ) n Используются для изучения частотного состава функций в различных масштабах и для разложения/синтеза функций в компрессии и обработке сигналов

Понятие вейвлета n Условия, обычно накладываемые на ψ(t): ► Интегрируемость ► Нулевое среднее, нормировка ► Нулевые моменты (vanishing moments)

Понятие вейвлета n Примеры вейвлетов Mortlet Meyer Mexican hat

Непрерывное вейвлетпреобразование (CWT) n Скалярные произведения исследуемой функции f(t) с вейвлетами ψa, b(t)

Дискретное вейвлетпреобразование (DWT) n n n Используются лишь целочисленные сдвиги вейвлета и масштабирование в 2 раза Возможность построения ортогонального преобразования Дискретный вейвлет: 1. Последовательность чисел 2. Ортогональна своим сдвигам на четное число точек 3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр), ортогональная вейвлету

Преобразование Хаара n Простейший случай вейвлет-преобразования Дан входной сигнал x[n] Образуем от него последовательности полусумм и полуразностей: Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить: Такое кодирование избыточно: из одной последовательности получаем две

Преобразование Хаара n Устранение избыточности Проредим полученные последовательности в 2 раза: Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления: (интерполяция нулями) (фильтрация) (суммирование)

Дискретное вейвлетпреобразование n Обобщение преобразования Хаара x[n] H 2 H 1 ↓ 2 ↑ 2 + Коэффициенты ↓ 2 Декомпозиция (анализ) G 2 ↑ 2 x’[n] G 1 Реконструкция (синтез) Свойство точного восстановления (PR): Количество информации не изменяется. Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное восстановление.

Дискретное вейвлетпреобразование n Прореживание ВЧ-сигнала ↓ 2 n Интерполяция ВЧ-коэффициентов до ВЧ-сигнала ↑ 2

Дискретное вейвлетпреобразование n Квадратурные зеркальные фильтры (QMF) частотные характеристики импульсные характеристики

Дискретное вейвлетпреобразование n QMF: базис Хаара Плохое частотное разделение, но хорошая временная (пространственная) локализация

Дискретное вейвлетпреобразование n Условия точного восстановления: ► Рассмотрим случай ► h 1[m] – симметричный, четной длины ► В этом случае требуется, чтобы n Построение PR-вейвлетов: ► Нужна хорошая пространственная локализация – берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты Добеши) ► Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со свойством «почти PR» .

Дискретное вейвлетпреобразование n Построение «почти PR» -фильтров большого размера с хорошим частотным разделением: 1. Строим симметричный НЧ-фильтр h 1[m] методом оконного взвешивания. 2. Нормируем его коэффициенты: 3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h 2[m]: 4. Проверяем величину искажений по суммарной частотной характеристике и пробуем изменить частоту среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

Пирамидальное представление n Продолжаем вейвлет-разложение для НЧкоэффициентов Одномерный случай x[n] Частотный диапазон делится на октавы H 2 ↓ 2 H 1 ↓ 2 Коэффициенты Двумерное вейвлетпреобразование на каждом шаге получаем 4 набора коэффициентов: НЧ ( «основные» ) и ВЧ ( «детализирующие» )

Банки фильтров n Банки фильтров (гребенки фильтров) – преобразования, разбивающие сигнал на несколько частотных полос ► С точным восстановлением? ► С увеличением количества информации? n n Пример: дискретное вейвлет-преобразование Еще пример: оконное преобразование Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтров • ► ► ► ► ► Применения: Раздельная обработка сигнала в разных частотных полосах Компрессия сигналов с независимым квантованием в разных частотных полосах Пример банка фильтров, основанного на STFT Декомпозиция: STFT с окном Хана (Hann), и с перекрытием между окнами 75% Синтез: обратное DFT от каждого блока, применение весовых окон Хана и сложение окон с наложением (OLA) Свойства: Точное восстановление Наличие избыточности

Банки фильтров n Как банки фильтров разбивают частотновременную плоскость? ► Вейвлеты делят частотную ось на октавы ► STFT разбивает частотную ось равномерно f f t Оконное ДПФ t Вейвлеты

Банки фильтров, основанные на STFT n – + Без весовых окон, без перекрытия блоков ► Размытие спектра → плохое разделение частот в каналах ► Разрывы сигнала на границах блоков при синтезе ► Нет избыточности 0 N 2 N n С весовыми окнами, с перекрытием блоков + ► Хорошее разделение частот в каналах ► Нет разрывов на границах блоков при синтезе ► Избыточность – t

Банки фильтров, основанные на STFT n + Модифицированное дискретное косинусное преобразование (MDCT) ► Перекрытие 50%, весовое окно ► Неплохое разделение частот в каналах ► Без избыточности! → подходит для компрессии ► Каждое окно длины 2 N захватывает N новых отсчетов и выдает N вещественных коэффициентов спектра ► Требования к окнам: ► Примеры подходящих окон: Полпериода синуса ► Kaiser-Bessel derived (KBD) ►

Банки фильтров, основанные на STFT n Частотно-временное разрешение ► Способность различать детали по частоте и по времени, «размытость» спектрограммы ► Для STFT определяется длиной весового окна (а также, отчасти, размером и шагом DFT по времени) ► Соотношение неопределенностей: разрешение по частоте обратно пропорционально разрешению по времени 6 ms 12 ms 24 ms 48 ms 96 ms размер окна

Банки фильтров, основанные на STFT n Частотно-временное разрешение ► Частотное разрешение спектрограммы равномерное ► Частотное разрешение слуха на НЧ выше, чем на ВЧ STFT, окно 12 мс STFT, окно 93 мс

Банки фильтров: достоинства и недостатки n STFT Очень быстрая реализация для большого числа полос. + – n Слишком различающееся число осцилляций базисных функций, эффект Гиббса. DWT Возможность произвольных разбиений F-T плоскости. + – Малое число частотных полос. Плохое частотное разделение между полосами.