Лектор Буганова С Н Векторы Произведения векторов Дисциплина

Лектор Буганова С. Н. Векторы. Произведения векторов. Дисциплина Математика 1 Лекция 3 2016 -17 учебный год

1. 2. 3. 4. 5. Понятие вектора. Действия над векторами. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.

Понятие вектора Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления. Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем НАЧАЛОМ, а другой – КОНЦОМ и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.

Понятие вектора На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой АВ А В Вектор АВ, А – начало вектора, В – конец. E CD F D L K C EF LK

Понятие вектора Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: b c a Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом: М ММ = 0.

Понятие вектора Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ: с АВ = а = АВ = 5 В a с = 17 А Длина нулевого вектора считается равной нулю: ММ = 0. М

Коллинеарные векторы а Ненулевые векторы называются c коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. b m d s n L

Равенство векторов Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. а = b , если 1) а b 2) а = b а c b d m f n s

Сумма двух векторов Рассмотрим пример: Петя из дома(D) зашел к Васе(B), а потом поехал в кинотеатр(К). B D K В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DB и BK, Петя переместился из точки D в К, т. е. на вектор DК: DK=DB+BK. Вектор DK называется суммой векторов DB и BK.

Сумма двух векторов Правило треугольника Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b. АС = а + b b B a a A b C

Законы сложения векторов 1) а+b=b+a (переместительный закон) Правило параллелограмма Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор АD = b. На этих векторах построим параллелограмм АВСD. АС = АВ + BС = а+b АС = АD + DС = b+a D a b a 2) (а+b)+c=a+(b+c) (сочетательный закон) b A b a B C

Сумма нескольких векторов Правило многоугольника s=a+b+c+d+e+f m d c n r b e a f s k p k+n+m+r+p=0 O

Противоположные векторы Пусть а – произвольный ненулевой вектор. Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены. a = АВ, b = BA a b B c -c А Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0 -c.

Вычитание векторов Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (-b). Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b. b а -b -b а a-b

Умножение вектора на число Определение. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна вектору k а , причем векторы а и b сонаправлены при k≥ 0 и противоположно направлены при k<0. а -2 a 3 а Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны.

Умножение вектора на число Для любых чисел k, n и любых векторов а, b справедливы равенства: 1) 2) 3) (kn) а = k (na) (сочетательный закон) (k+n) а = kа + na (первый распределительный закон) K ( а+ b ) = kа + kb (второй распределительный закон) Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) = = 2 a – 2 b + c + a – 3 b + 3 c – 3 a = - 5 b + 4 c

Скалярное произведение векторов Пусть постоянная сила действует на прямолинейно перемещающуюся точку М под углом φ к направлению движения Как известно из физики, работа силы по перемещению точки М определяется по формуле: М Таким образом, двум векторам: силе и перемещению оказался сопоставлен скаляр – работа. Этот скаляр А и называется скалярным произведением силы на перемещение Скалярным произведением двух векторов называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними. .

Скалярное произведение векторов Скалярное произведение двух векторов и обозначатся: Если векторы и не нулевые: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: Законы скалярного произведения 1) 3) 2)

Скалярное произведение векторов Для координатных ортов декартовой системы координат справедливо: Пусть в декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы: Найдем скалярное произведение: 1 0 0 0 1 1

Скалярное произведение векторов Из формулы скалярного произведения векторов следует формула для нахождения угла между векторами: Найти косинус угла между векторами:

Векторное произведение векторов левой Тройка некомпланарных векторов называется правой если наименьший поворот с конца третьего вектора от первого вектора ко второму вектору виден против часовой стрелки по Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , определяемый следующим образом: Вектор направлен так, что тройка векторов - правая.

Векторное произведение векторов Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах Законы векторного произведения 1) 2) 3) 4) - векторный квадрат равен нулю для любого вектора

Векторное произведение векторов Для координатных ортов декартовой системы координат справедливо: + - Векторное произведение двух разноименных ортов, следующих друг за другом в направлении положительного обхода окружности, равно Пусть в декартовой прямоугольной системе координат заданы третьему орту со знаком плюс, в векторы: противоположном же случае - знаком минус. Найдем векторное произведение:

Векторное произведение векторов 0 0 0

Векторное произведение векторов Найти векторное произведение векторов:

Векторное произведение векторов Найти площадь треугольника с вершинами: В Найдем координаты векторов: А С

Смешанное произведение векторов Векторно - скалярным или смешанным произведением трех векторов называется произведение, которое получается скалярным умножением векторного произведения двух векторов на третий вектор, т. е. произведение вида: Смешанное произведение представляет собой скаляр. Выясним его геометрический смысл. Построим на через h высоту Обозначим: векторах , Обозначим параллелепипед, основанием, тогда площадь параллелепипеда, тогда которого будемравен: основания будет равна: объем будет считать параллелограмм со сторонами.

Смешанное произведение векторов Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах в том случае, если векторы образуют правую тройку векторов (как в предыдущем примере). В случае, если векторы образуют левую тройку, то смешанное произведение равно объему параллелепипеда, взятому со знаком «-» : Таким образом, объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, всегда равен абсолютной величине их смешанного произведения:

Смешанное произведение векторов Законы смешанного произведения 1) Сочетательный закон следует из геометрического смысла смешанного произведения: Учитывая сочетательный закон, смешанное произведение обозначают: или . 2) Закон круговой переместительности: При перестановке множителей не нарушающей их кругового порядка, смешанное произведение не меняется, при перестановке же множителей, нарушающей круговой порядок, смешанное произведение меняет свой знак

Смешанное произведение векторов 3) Распределительный закон В частности, смешанное произведение равно нулю, если в нем два множителя одинаковы: Пусть в декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы:

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов Найти объем треугольной пирамиды с вершинами: А Найдем координаты векторов: D В С Объем треугольной пирамиды равен 1/6 части параллелепипеда, построенного на векторах

Задание на СРС 1. Вычисление длины вектора, угла между векторами. (Конспект. Срок сдачи по графику) [1, 5, 6] Задание на СРСП 1. ИДЗ-2. 1 [1 – стр. 67], ИДЗ-2. 2 [1 – стр. 75].

№ Қазақша Русский English 1. Вектор Vector 2. Скаляр Quantify 3. Зависимость Байланыс Dependence 4. Базис Basis 5. Аралас көбейту Смешанное произведение Mixed Product 6. Скалярлық көбейту Скалярное произведение Scalar product 7. Қасиеті Свойство Property 8. Аудан Площадь The area 9. Табан ауданы Площадь основания The area of the basic

Основная 1. А. П. Рябушко. Индивидуальные задания по высшей математике, т. 1. - Мн. : Выш. Школа, 2011. 2. Данко П. Е. , Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов. - М. : Оникс, 2007. Дополнительная 3. Буганова С. Н. Математика для технических специальностей с применением прикладных программ. - Алматы: Каз. ГАСА, 2015, с. 108. 4. Сыдыкова Д. К. «Курс Математики- I» , Модуль I, II для дистанционного обучения. Электронный учебник. -Алматы: Каз. ГАСА, 2012. 5. www. studentlibrary. ru 6. http: //sferaznaniy. ru/vysshaya-matematika.