Лектор Буганова С Н Обратная матрица Система линейных

Лектор Буганова С. Н. Обратная матрица. Система линейных алгебраических уравнений. Дисциплина Математика 1 Лекция 2 2016 -17 учебный год

1. Понятие обратной матрицы. 2. Алгоритм нахождения обратной матрицы. 3. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). 4. Методы решения СЛАУ. - Метод Крамера; - Матричный метод (с помощью обратной матрицы) - Метод Гаусса

Матрица A-1 называется обратной к матрице А, если АA-1=A-1 А=Е где Е – единичная матрица

1 Определяем, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.

2 Вычисляем определитель. Он должен быть отличным от нуля

3 Заменяем каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.

4 Полученную матрицу транспонируем.

5 Каждый элемент полученной матрицы делим на определитель исходной матрицы. Получаем матрицу, обратную к данной.

6 Делаем проверку. Для этого перемножаем полученную и исходную матрицы. Должна получиться единичная матрица.

Найти матрицу, обратную к матрице

Применяем алгоритм нахождения обратной матрицы. 1 Матрица квадратная, следовательно обратная матрица для нее существует. 2 Находим определитель:

3 Находим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы: Составляем матрицу: из полученных значений

4 Транспонируем ее: 5 Каждый элемент матрицы делим на определитель Δ=1 и получаем обратную матрицу:

6 Проверяем:

Алгоритм решения систем линейных уравнений матричным методом 1. Составляем матрицы А, В и Х 2. Вычисляем определитель матрицы А 3. Находим обратную матрицу А-1 4. Находим решение системы уравнений по формуле: Х=А-1 В

Пример

Алгоритм решения систем линейных уравнений по формулам Крамера • 1. Составляем матрицы А, В, Х • 2. Вычисляем определитель матрицы А. • 3. Составляем определитель 1 путем замены первого столбца в матрице А на вектор-столбец матрицы В • 4. Вычисляем определитель 1 и находим первую неизвестную по формуле: 5. Составляем определитель 2 путем замены второго столбца в матрице А на вектор-столбец матрицы В

6. Вычисляем определитель 2 и находим вторую неизвестную по формуле: 7. Составляем определитель 3 путем замены третьего столбца в матрице А на вектор-столбец матрицы В 8. Вычисляем определитель 3 и находим третью неизвестную по формуле:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Рассмотрим задачу решения системы линейных уравнений размерностью (m x n). Запишем систему в матричном виде: Если закрепить раз и навсегда нумерацию неизвестных, то можно опустить неизвестные в записи системы и записать ее в виде матрицы, отделяя столбец свободных членов вертикальной чертой. Расширенная матрица системы

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Следующие действия над расширенной матрицей системы называются элементарными преобразованиями. Умножение или деление элементов строк на одно и то же число, не равное нулю Перестановка местами двух строк Прибавление к элементам строки элементов другой строки, умноженных на произвольный множитель. Конечной целью элементарных преобразований является получение верхнетреугольной матрицы, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю. Преобразования стараются производить так, чтобы на главной диагонали появлялись единицы.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Ко Запишем второй строке прибавим расширенную третью строку, умноженную на (-5) матрицу системы К первой строке прибавим вторую строку, умноженную на (-2) Ко второй строке прибавим первую строку, Из третьей строки вычтем умноженную на (-2), вторую строку К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на (-3).

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 4 Вторую строку умножим на (-1), третью строку Восстановим систему: разделим на 5

Ранг матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n). Выделим в этой матрице произвольное число k строк и k столбцов. Элементы матрицы А, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют определитель k - того порядка. Минором k-того порядка матрицы А называют определитель, полученный из А выделением произвольных k строк и k столбцов.

Ранг матрицы Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Матрица А имеет 4 минора 3 - его порядка, например: 18 миноров 2 - го порядка, например: 12 миноров 1 - го порядка – сами элементы. Наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы равен 3, поэтому:

Ранг матрицы Определитель, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором. Он может быть не единственным. Можно показать, что эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы. Поэтому, когда требуется вычислить ранг матрицы, ее приводят к треугольному виду. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы, приведенной к треугольному виду

Исследование систем линейных уравнений Теорема Кронекера - Капелли. Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение ), необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы равнялся рангу матрицы коэффициентов: Если (числу неизвестных), то система совместна и определенна (имеет единственное решение). Если , то система совместна и неопределенна (имеет бесконечное множество решений). Если , то система несовместна (не имеет решений). При решении систем линейных алгебраических уравнений нет необходимости заранее вычислять ранги основной и расширенной матриц. Их определение производится автоматически при выполнении метода исключения Гаусса.

Исследование систем линейных уравнений

Исследование систем линейных уравнений система совместна - число неизвестных система неопределенна - число свободных переменных Пусть Восстановим систему:

Исследование систем линейных уравнений система несовместна

Однородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены ее равны нулю. Однородная система всегда имеет решение: Это решение называется тривиальным. Оно является единственным решением системы в случае, когда Если решений. , то система имеет бесконечное множество

Однородные системы линейных уравнений Пусть: Тогда система имеет r базисных переменных и n – r свободных переменных. Общее решение системы запишется в виде: Базисные переменные, зависящие от свободных переменных Значения свободных переменных

Однородные системы линейных уравнений Выберем n - r частных решений однородной системы, полученных из общего решения следующим образом: полагаем одно из значений свободных переменных равным 1, а остальные равными 0 : Эти решения образуют фундаментальную систему решений однородной системы (ФСР).

Однородные системы линейных уравнений Найти фундаментальную систему решений: - число свободных переменных

Однородные системы линейных уравнений Обозначим: (в качестве свободных переменных обычно берут те, которые имеют 0 на главной диагонали) Фундаментальная система решений Общее решение

Задание на СРС 1. Решение системы линейных уравнений методом Крамера. [3 - cтр. 174; 1 – стр. 35] Форма отчёта: реферат. Срок: 6 дней. 2. Решить задачи ИДЗ-1. 2. [1] Задание на СРСП 1. Теорема Кронекера-Капелли. [1, стр. 25]

№ Қазақша Русский English 1. Кері матрица Обратная матрица Inverse matrix 2. Қажет Необходимый Indispensable 3. Жектілікті Достаточный Sufficient 4. Дара Единственный Singular 5. Жүйе Система System 6. Сызықты Линейный Linear 7. Теңдеу Уравнение Equation 8. Айнымалы Переменный Variable 9. Шешуі Решение Decision 10. Үйлесімді жүйе Совместная система Combined system

Основная 1. А. П. Рябушко. Индивидуальные задания по высшей математике, - Мн. : Выш. Школа, 2011. 2. Данко П. Е. , Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов. - М. : Оникс, 2007. Дополнительная 3. Буганова С. Н. Математика для технических специальностей с применением прикладных программ. - Алматы: Каз. ГАСА, 2015, с. 108. 4. Сыдыкова Д. К. «Курс Математики- I» , Модуль I, II для дистанционного обучения. Электронный учебник. -Алматы: Каз. ГАСА, 2012. 5. www. studentlibrary. ru 6. http: //sferaznaniy. ru/vysshaya-matematika.