Лектор Буганова С Н Функция Теория пределов Дисциплина

Лектор Буганова С. Н. Функция. Теория пределов. Дисциплина Математика 1 Лекция 8 2016 -17 учебный год

План лекции: 1. Предел функции в точке 2. Односторонние пределы 3. Предел функции при x стремящемся к бесконечности 4. Основные теоремы о пределах 5. Вычисление пределов 6. Раскрытие неопределенностей 7. Замечательные пределы

Предел функции в точке Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, кроме, быть может самой точки x 0. Число А называют пределом функции в точке x 0 (или при ), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x 0 справедливо неравенство:

Предел функции в точке ε окрестность точки А y А 0 х0 х δ окрестность точки x 0 Геометрический смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки x 0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2ε, ограниченной прямыми: у =А+ε, у=А-ε.

Односторонние пределы В определении предела функции предполагается, что x стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньше, чем x 0 (слева от x 0), большим, чем x 0 (справа от x 0), или колеблясь около точки x 0. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x 0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов. Число А 1 называют пределом функции слева в точке x 0, если для любого ε > 0 найдется такое δ >0, что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так:

Односторонние пределы Число А 2 называют пределом функции справа в точке x 0, если Предел справа записывают так: Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами. y А 2 А 1=А 2=А А 1 0 Очевидно, если существует х0 х то существуют и оба односторонних предела, причем А = А 1 = А 2

Предел функции при x стремящемся к бесконечности Пусть функция y = f(x) определена в промежутке Число А называют пределом функции при Геометрический смысл этого определения таков: существует такое число М, что при х > M или при x < - M точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми: у=А+ε, у=А-ε. . , если y А 0 М х

Основные теоремы о пределах Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций. Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением: . Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов: Предел произведения двух функций равен произведению пределов: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Основные теоремы о пределах Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: Предел показательно – степенной функции:

Основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций выполняются неравенства: при этом: тогда: Если функция f(x) монотонна и ограничена при x < x 0 или при x > x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правый предел:

Вычисление пределов Вычисление предела: начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x). Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу. Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения вида: то предел будет равен:

Вычисление пределов Часто при подстановке предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов: Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени

Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности Умножим и разделим функцию на сопряженное выражение.

Первый замечательный предел Функция не определена при x = 0. Найдем предел этой функции при М С x О В А Обозначим: S 1 - площадь треугольника OMA, S 2 - площадь сектора OMА, S 3 - площадь треугольника OСА, Из рисунка видно, что S 1< S 2 < S 3

Первый замечательный предел М С x О В А

Первый замечательный предел Формула справедлива также при x < 0 Следствия:

Первый замечательный предел

Задание на СРС • 1. Теоремы о бесконечно малых и о пределах функций. (конспект) [1, 3, 5]. Задание на СРСП • 1. ИДЗ-5. 1 [1. , стр. 158].

Глоссарий № Қазақша Русский English 1. Функция Function 2. Жұп функция Четная функция Even function 3. Тақ функция Нечетная функция Odd function 4. Шек Предел Limit 5. Солжақты шек Предел слева Limit on the left 6. Оңжақты шек Предел справа Limit on the right

Основная 1. А. П. Рябушко. Индивидуальные задания по высшей математике, т. 1. - Мн. : Выш. Школа, 2011. 2. Данко П. Е. , Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов. - М. : Оникс, 2007. Дополнительная 3. Буганова С. Н. Математика для технических специальностей с применением прикладных программ. - Алматы: Каз. ГАСА, 2015, с. 108. 4. Сыдыкова Д. К. «Курс Математики- I» , Модуль I, II для дистанционного обучения. Электронный учебник. -Алматы: Каз. ГАСА, 2012. 5. www. studentlibrary. ru 6. http: //sferaznaniy. ru/vysshaya-matematika.