Лекция — визуализация Задачи нелинейного программирования Задачи

Лекция - визуализация Задачи нелинейного программирования

Задачи нелинейного программирования Общий вид задачи нелинейного программирования: максимизировать (минимизировать) целевую функцию при условиях: причем функции и могут быть нелинейными вектор х1, х2, …, хn – его координаты

Графический метод решения. Алгоритм 1. Построить область допустимых решений. линии, на которых целевая функция является константой 2. Построить семейство линий уровня, проходящих через область допустимых решений. 3. Построить вектор-градиент целевой функции, который определяет направления возрастания (убывания) функции. 4. Выбрать линию уровня, наиболее удаленную в направлении вектора-градиента (или в противоположном направлении в задаче на минимум) и проходящую через область допустимых решений. Определить точки области, через которые она проходит. 5. Найти координаты точек экстремума и значение целевой функции в этих точках.

Пример 1. Найти глобальные экстремумы функции При ограничениях: 1) 2) 3) 4)

Решение Построим область допустимых решений. Она состоит из двух частей: ABCD и MNLK. x 2 1) М N 5 L 4) Линиями уровня являются параллельные прямые Градиент функции K 2) C 0 . 3) D 3, 5 B 5 А x 1 Следовательно, функция достигает своего глобального максимума в точке А (5; 0), zmax= 5 0 - 5 = 0, а в точке М (0; 5) – глобального минимума, zmin = 0 – 5 = -10. Очевидно, что в точке С функция имеет локальный минимум, а в точке К – локальный максимум.

Пример 2 Найти глобальные экстремумы функции При ограничениях: 1) 2) 3)

Решение x 2 1) B А Множество OABCD является областью допустимых решений. Линия уровня функции z: (x 1 - 2)2 + (x 2 - 3)2 = c представляет собой концентрические окружности с центром в точке Е (2; 3) и радиусом 3) C E 3/2 O 1 2) D x 1 Из чертежа видно, что максимум достигается в точке D (10; 0) и zmax = (10 - 2)2 + (0 - 3)2 = 73, минимум – в точке E (2; 3), zmin = 0.

Пример 3. Определить глобальный минимум функции на множестве решений системы 1) 2) 3)

x 2 8 1) grad z 6 3) 0 2) 3 4, 8 x 1

Решение Множество допустимых решений является выпуклым. Линии уровня функции z – эллипсы с центром в точке (3; 6). Минимум достигается в точке касания прямой 5 x 1 + 3 x 2 = 24 и некоторого эллипса из семейства линий уровня. Из уравнения прямой определим ее вектор нормали В точке касания градиент функции направлен по нормали к линии уровня, то есть его направление совпадает с направлением нормали к прямой. Найдем градиент функции

Так как точка касания лежит на прямой 5 х1 + 3 х2 = 24 и в ней градиент функции коллинеарен вектору нормали к прямой , то получаем систему из двух уравнений для определения координат этой точки: или - условие коллинеарности Решением данной системы является: откуда при этом , .

Пример 4. Найти экстремумы функции при условии 1) 2)

Решение х2 Из рисунка видно, что минимум целевой функции достигается в точке B, а максимум в точке А. Точка B является точкой пересечения линии уровня 3 х1 + х2 = с и гиперболы х1 · х2 = 2. B A 2) 1) Найдем ее координаты. х1

Так как точка касания линии уровня и гиперболы должна быть единственной, у этого уравнения должен быть единственный корень. D = c 2 – 24 = 0, тогда. Таким образом,

Точка А есть пересечение линии уровня и прямой ОА. Угловой коэффициент линии уровня: ki = -3. Поскольку касательная и радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярны, . Тогда уравнение прямой Найдем координаты точки А.

Спасибо!