ЛЕКЦИЯ ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 1 Сущность транспортной

ЛЕКЦИЯ ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 1. Сущность транспортной задачи линейного программирования 2. Построение модели 2. 3. Методика решения закрытой транспортной задачи

1. Сущность транспортной задачи линейного программирования • Транспортная задача является частным случаем задач линейного программирования. Формальным признаком транспортной задачи является то, что каждая переменная входит лишь в два ограничения, причем с коэффициентами, равными единице. Все переменные транспортной задачи выражаются в одних и тех же единицах измерения. Линейная транспортная задача возникает в том случае, если критерий оптимальности прямо пропорционален значениям переменных.

1. Сущность транспортной задачи линейного программирования • Сущность транспортной задачи состоит в определении наименьших транспортных издержек при составлении плана перевозок грузов из пунктов отправления в пункты назначения. В настоящее время транспортная задача применяется при решении проблем, не имеющих отношения к транспортировке грузов. Например, с её помощью определяется потребность в технике и оптимальное её использование, составляется план оптимального распределения культур по полям севооборота, оптимального распределения минеральных удобрений по культурам и др.

1. Сущность транспортной задачи линейного программирования Структурная запись транспортной задачи: n Целевая функция: Z = c ij * x j → min i, j=1 m Ограничения по запасам ресурса: xij = ai , i = 1, …, m i=1 n Ограничение по потребностям: xj = bj , j = 1, …, n j=1 m n Условие баланса: ai = bj i=1 j=1 Условие неотрицательности: x ij ≥ 0, i = 1, …, m, j = 1, …, n

1. Сущность транспортной задачи линейного программирования • • где: m – количество источников ресурса; n – количество пунктов потребления ресурса; x ij – количество ресурса, транспортируемое от iго источника к j-му потребителю; • cij – стоимость транспортировки ед. ресурса от iго источника к j-му потребителю; • ai – запасы ресурса в источниках; • bj – потребности в ресурсах.

1. Сущность транспортной задачи линейного программирования • Транспортная задача может быть закрытой или открытой. • Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, т. е. выполняется условие: • То модель такой задачи называется закрытой. Если данное условие не соблюдается, т. е. запасы не равны потребности, то модель транспортной задачи называется открытой.

1. Сущность транспортной задачи линейного программирования • Для решения транспортной задачи необходимо, чтобы запасы груза на складах были равны потребностям в пунктах назначения. Если запасы превышают потребность, то вводится фиктивный (n+1)-й пункт назначения, потребности которого помогали бы полностью закрывать запасы. При этом тарифы на перевозку груза в этот пункт назначения считаются равными нулю. • В случае превышения потребностей над запасами вводится фиктивный склад с запасами, покрывающими потребности потребителей. Тарифы по доставке груза с этого склада также приравниваются к нулю.

2. Построение модели • Необходимо решить следующую задачу. • Площадь пашни в хозяйстве составляет 2000 га. На ней ежегодно высевают озимую пшеницу – 700 га, сахарную свеклу – 500 га, подсолнечник – 300 га. 500 га пашни ежегодно оставляется под чистый пар. • Проектная урожайность каждой культуры в очередном году зависит от предшественника и определяется через нормативную урожайность, умноженную на коэффициент влияния (табл. 1. и 2. ).

Таблица 1 Коэффициенты влияния предшественников на урожайность культур Предшественник Культура очередного года посева Озимая Сахарна пшениц я свекла а Подсол нечник Чистый пар Озимая пшеница 0, 85 0, 92 0, 97 1, 09 Сахарная свекла 1, 09 0, 92 0, 88 1, 10 Подсолнечни к 1, 06 0, 80 1, 07 Чистый пар 0, 00

Таблица 2 Входная информация Нормативн Цена Площад МДЗ, Культуры и ая реализации, ь тыс. р угодья урожайност тыс. руб. за посева, уб. /га ь, ц/га 1 ц га Озимая пшеница 25 2, 8 0, 400 700 Сахарная свекла 250 21, 4 0, 095 500 Подсолнеч ник 10 2, 2 0, 750 300 Чистый пар 0 1, 5 0, 000 500

2. Построение модели • Таким образом, проектная урожайность подсолнечника после пшеницы составит 1, 06*10=10, 6 ц/га. • Необходимо определить план посева очередного года, обеспечивающий получение максимальной прибыли для хозяйства.

2. Построение модели • План посева состоит в определении площадей, занимаемых каждой культурой по каждому предшественнику. Следовательно, мы имеем 16 управляемых переменных. В данной задаче наиболее удобной представляется двухиндексная нумерация:

2. Построение модели • Х 11, Х 12, Х 13, Х 14 - площади посева пшеницы по пшенице, свекле, подсолнечнику и пару соответственно; • Х 21, Х 22, Х 23, Х 24 - площади посева сахарной свеклы по пшенице, свекле, подсолнечнику и пару соответственно; • Х 31, Х 32, Х 33, Х 34 - площади посева подсолнечника по пшенице, свекле, подсолнечнику и пару соответственно; • Х 41, Х 42, Х 43, Х 44 - площади занимаемые паром после пшеницы, свеклы, подсолнечника и пара соответственно.

2. Построение модели • 1) Прибыль с 1 га той или иной культуры определяется как разность между выручкой и материально-денежными затратами, выручка определяется как произведение цены реализации и проектной урожайности. Обозначим цену i-й культуры через Сi, нормативную урожайность - через Уi , коэффициенты влияния - через Кij, а затраты на возделывание - Мi. Тогда прибыль с 1 га посева i-й культуры с j-м предшественником, составит • Wij = Ci * Кij * Уi - Mi (1)

2. Построение модели • 2) Чтобы определить прибыль на поле, выделенном под i-ю культуру с j-м предшественником необходимо прибыль с 1 га (Wij) умножить на площадь посева (Хij). Следовательно, критерий оптимальности задачи (общая прибыль хозяйства) определяется как сумма прибыли по всем 16 -и площадям. Таким образом, целевая функция имеет вид: • Σi Σj Wij * Xij → max (2)

2. Построение модели • Площадь посева сахарной свеклы должна составить 500 га: • Х 21+Х 22+Х 23+Х 24 = 500 • Площадь посева подсолнечника должна составить 300 га: • Х 31+Х 32+Х 33+Х 34 = 300 • Площадь под чистым паром должна составить 500 га: • Х 41+Х 42+Х 43+Х 44 = 500

2. Построение модели • • • 5) Баланс по площади предшественников. Озимая пшеница как предшественник занимала 700 га: Х 11+Х 21+Х 31+Х 41 = 700 Сахарная свекла как предшественник занимала 500 га: Х 12+Х 22+Х 32+Х 42 = 500 Подсолнечник как предшественник занимал 300 га: Х 13+Х 23+Х 33+Х 43 = 300 Чистый пар как предшественник занимала 500 га: Х 14+Х 24+Х 34+Х 44 = 500

3. Методика решения закрытой транспортной задачи • В настоящее время разработан ряд методов решения транспортной задачи: • Распределительный метод • Модифицированный распределительный метод (метод потенциалов) • Дельта-метод и др.

3. Методика решения закрытой транспортной задачи • В табл. 3 показан один из возможных способов организации расчетной таблицы MS EXCEL В строках 1 -13 размещены исходные данные. Совокупность ячеек В 16 - Е 19 выделена под значения переменных Х 11 - Х 44 и заполнена начальными значениями - "1".

A B C D E Коэффициенты влияния предшественников на урожайность культур 1 Предшественник 2 Культура очередного года посева 3 Озимая пшеница Сахарная свекла Подсолнечник Чистый пар 4 Озимая пшеница 0, 85 0, 92 0, 97 1, 09 5 Сахарная свекла 1, 09 0, 92 0, 88 1, 10 6 Подсолнечник 1, 06 0, 80 1, 07 7 Чистый пар 0, 00 Входная информация 8 9 Культуры и угодья Нормативная урожайность, ц/га МДЗ, тыс. руб. /га Цена реализации, тыс. руб. за 1 ц Площадь посева, га 1 0 Озимая пшеница 25 2, 8 0, 400 700 1 1 Сахарная свекла 250 21, 4 0, 095 500 1 2 Подсолнечник 10 2, 2 0, 750 300 1 Чистый пар 0 1, 5 0, 000 500 F

3. Методика решения закрытой транспортной задачи • Для выполнения условия баланса по занимаемым площадям очередного года и баланса по площади предшественников в ячейки F 16 -F 19 и В 20 -Е 20 занесены формулы расчета, соответствующие левым частям уравнений пункта 4 и пункта 5 соответственно. В диапазон ячеек В 23 -Е 26 занесены формулы (1) для расчета прибыли на 1 га от возделывания каждой культуры по каждому предшественнику. В ячейке С 27 организован расчет целевой функции по формуле (2).

3. Методика решения закрытой транспортной задачи • Вызов опции Поиск решения • Установка адреса целевой ячейки: Целевая ячейка: $С$27 • Установка адресов изменяемых ячеек, в которых должны фиксироваться значения переменных: Изменяя ячейки: $B$16: $E$19 • Копирование ограничений в окне Ограничения • 1) $B$16: $E$19 >= 0 • 2) $F$16: $F$19 = $E$10: $E$13 • 3) $B$20: $E$20 = $E$10: $E$13

3. Методика решения закрытой транспортной задачи Установка параметров модели: линейная, значения неотрицательные. Нажатие кнопки Выполнить. В результате решения задачи определен план посева очередного года (т. е. что на каком поле и после какого предшественника сеять).

1 4 Переменные задачи (площади посева очередного года) 1 5 A Озимая B пшеница C ахарная С D свекла Подсолнечник E Чистый пар F ИТОГО 1 6 Озимая пшеница 1 1 =СУММ (B 16: E 16) 1 7 Сахарная свекла 1 1 =СУММ (B 17: E 17) 1 8 Подсолнечник 1 1 =СУММ (B 18: E 18) 1 9 Чистый пар 1 1 =СУММ (B 19: E 19) 2 0 ИТОГО =СУММ (B 16: B 19) =СУММ (С 16: С 19) =СУММ (D 16: D 19) =СУММ (E 16: E 19) 2 1 Прибыль с 1 га 2 2 Озимая пшеница Сахарная свекла Подсолнечник Чистый пар 2 3 Озимая пшеница =$D$10*$B$10 *B 4 -$C$10 =$D$10*$B$10 *C 4 -$C$10 =$D$10*$B$10 *D 4 -$C$10 =$D$10*$B$10 *E 4 -$C$10 2 4 Сахарная свекла =$D$11*$B$11 *B 5 -$C$11 =$D$11*$B$11 *C 5 -$C$11 =$D$11*$B$11 *D 5 -$C$11 =$D$11*$B$11* E 5 -$C$11 2 5 Подсолнечник =$D$12*$B$12* B 6 -$C$12 =$D$12*$B$12* C 6 -$C$12 =$D$12*$B$12* D 6 -$C$12 =$D$12*$B$12* E 6 -$C$12 2 6 Чистый пар =$D$13*$B$13* B 7 -$C$13 =$D$13*$B$13* C 7 -$C$13 =$D$13*$B$13* D 7 -$C$13 =$D$13*$B$13* E 7 -$C$13

Таблица 4 План посева очередного года Предшественник Культуры и угодья Озимая пшеница Сахарна я свекла Подсолнечни к Чистый пар ИТОГО Озимая пшеница 0 0 300 400 700 Сахарная свекла 500 0 500 Подсолнечник 200 0 0 100 300 0 500 700 500 300 500 2000 Чистый пар ИТОГО