Лекция Тема: Линейные дифференциальные

Лекция Тема: Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка ( однородные с постоянными коэффициентами)

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ Определение Фундаментальная система решений – совокупность любых линейно независимых решений. 0 yy xyxysin, cos 21 Пример Найти фундаментальную систему решений фундаментальная система решений Уравнение имеет и другие фундаментальные решения, например xkyxkysin, cos 21 Решение

Определение Линейное однородное уравнение вида y ( n ) + a 1 y ( n– 1) +…+ a n – 1 y + a n y =0, (1) где a 1 , a 2 , … , a n – действительные числа называется линейным однородным уравнением n –го порядка с постоянными коэффициентами. Решения уравнения ( 1) будем искать в виде y = e x , где – постоянная Левая уравнения (1) называется линейным дифференциальным оператором и обозначается ( ) 0 L y

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 1. Постоянный множитель можно выносить за знак оператора. 2. Оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций o 3. Если решение однородного линейного уравнения y. Lkky. L 2121 y. Lyy. L 0)(1 y. L то 1 Cyy — тоже решение, т. е 1( ) 0 LСy

ПУСТЬ Имеем: y = e x , y = 2 e x , y = 3 e x , … , y ( n ) = n e x . Подставляем y , … , y ( n ) в уравнение ( 1 ) и получаем: n e x + a 1 n– 1 e x +…+ a n – 1 e x + a n e x =0, n + a 1 n– 1 +… + a n – 1 + a n = 0 . характеристическое уравнение А его корни — характеристические числа решение линейного Д У

ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ Рассмотрим линейное однородное уравнение 2 -го порядка 0)()(yxqyxpy Теорема Если 1 y 2 yny nn y. Cy. Cy 2211 — фундаментальная система решений уравнения то — общее решение Замечание Всякое частное решение однородного линейного уравнения – линейная комбинация частных решений, составляющих фундаментальную систему решений. Замечание Уравнение (1) не может иметь более чем n линейно независимых частных решений. (1)

)()(xfy. LПусть нашли частное решение Пусть линейное неоднородное уравнение )()(1 xfy. L Введем новую функцию zyy 1)()(11 xfz. Ly. Lzy. L )()(1 xfy. L)()(2 xfy. L 21 yy тоже частное решение xeyy 322 22 yy 1 y xeyy 32 xeyxey 1 • Пример частные решения 0)(z. Lоднородное уравнение, соответствующее неоднородному nn z. Cz. Cyy 22111 общее решение неоднородного уравнения

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения : частное решение этого уравнения общее решение однородного уравнения 01 1 1 nn n aaea n, , 1 Алгоритм • Составляем характеристическое уравнение • Находим корни характеристического уравнения По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения (частных решений будет ровно столько, каков порядок линейного дифференциального уравнения)

N + A 1 N– 1 +… + A N – 1 + A N = 0 . Замечани я 1) характеристическое уравнение получается из ( 1 ) заменой производных искомой функции на соответствующие степени , а самой функции – на 0 =1. уравнение n -й степени оно имеет n корней, но 1) каждый корень считается столько раз, какова его кратность; 2)корни могут быть комплексными (причем, комплексные корни попарно сопряжены).

ТЕОРЕМА Пусть – характеристический корень уравнения ( 1 ). Тогда 1) если – простой корень уравнения , то решением является функция e x ; 2) если – корень кратности k уравнения ( 1 ) , то решениями уравнения ( 1 ) являются функции e x , x 2 e x , …, x k– 1 e x ; 3) если = + i ℂ и – простой комплексный корень уравнения ( 1 ), то = – i тоже является простым корнем уравнения ( 1 ) , а решениями уравнения ( 1 ) являются функции e x cos x , e x sin x ; 4) если = + i и – комплексный корень кратности k уравнения ( 1 ), то = – i тоже является корнем кратности k уравнения ( 1 ) , а решениями являются функции e x cos x , xe x cos x , x 2 e x cos x , …, x k – 1 e x cos x e x sin x , xe x sin x , x 2 e x sin x , …, x k – 1 e x sin x .

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ N -ГО ПОРЯДКА Рассмотрим линейное неоднородное уравнение y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n– 1) +…+ a n – 1 ( x ) y + a n ( x ) y = f ( x ). Если известно общее решение соответствующего ЛОДУ y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n– 1) +…+ a n – 1 ( x ) y + a n ( x ) y =0, Тогда его общее решение будет иметь вид y = C 1 y 1 + C 2 y 2 +… + C n y n , где C 1 , C 2 , … , C n – произвольные постоянные. Полагаем, что РЕШЕНИЕ ЛНДУ ПО СТРУКТУРЕ совпадает с решением соответствующего ЛОДУ , т. е. имеет вид y = C 1 ( x ) y 1 + C 2 ( x ) y 2 +…+ C n ( x ) y n , где C 1 ( x ) , C 2 ( x ) , … , C n ( x ) – некоторые функции.

ТЕОРЕМА (О СТРУКТУРЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛНДУ) Общее решение ЛНДУ n –го порядка равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения и любого частного решения y ( x ) неоднородного уравнения, т. е. имеет вид y ( x )= C 1 y 1 + C 2 y 2 +…+ C n y n + y ( x ) , где y 1 , y 2 , … , y n –решения, соответствующего ЛОДУ

ПРИМЕР

ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА характеристическое уравнение 021 yayay 021 2 aa Два различных действительных корня xx e. Cy 21 21 один корень x ex. CCy 0)(21 комплексно сопряженные корни ). cossin(21 x. Cey x

ВИД ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 1. Если корни характеристического уравнения — вещественные и различныеk x k ke. C общее решение однородного уравнения iba k o 2. Если корни характеристического уравнения корни комплексные bx. Ce ax sincos 21 общее решение однородного уравнения

ВИД ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 3. Если корни характеристического уравнения — вещественные и кратныеk общее решение однородного уравнения iba k o 4. Если корни характеристического уравнения корни комплексные общее решение однородного уравнения k кратный корень x kex. P 1)(1 k кратный корень bxx. Qbxx. Pekk axsin)(cos)(

ПРИМЕР Решен ие одн ородн ог о уравн ен ия частное решен ие ищем в виде 210665 2 xxyyyxx e. Cz 3 2 2 1 CBx. Axy 2 23 2 2 1 xe. Cy xx общее решение неоднородного уравнения

НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ Правая частьx mex. Pxf)()( — не является корнем характеристического уравнения x mex. Qy)( вид общего решения неоднородного уравнения k корень кратности x m kex. Qxy)( вид общего решения неоднородного уравнения bxx. Pexfmm xsin)(cos)()(1 Правая часть iba — не является корнем характеристического уравнения bxx. Qeymm xsin)(cos)(21 вид общего решения неоднородного уравнения

Правая частьbxx. Pexfmm xsin)(cos)()(1 iba — является корнем характеристического уравнения кратности k bxx. Qexymm xksin)(cos)(21 вид общего решения неоднородного уравнения