ЛЕКЦИЯ ПЛАН ЛЕКЦИИ 1. Переменный ток 2. Колебательный контур. 3. Свободные затухающие колебания в контуре. 4. Вынужденные электрические колебания. Резонанс. 5. Работа и мощность переменного тока.
Переменный ток При рассмотрении электрических колебаний приходится иметь дело с токами, изменяющимися во времени – переменными токами: I = I 0 sin( t + ) Закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа были установлены для постоянного тока. Однако они остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющегося тока.
Переменный ток Электромагнитные сигналы распространяются по цепи со скоростью света с. • Пусть l – длина электрической цепи. • Время распространения сигнала в данной цепи • Если то такие токи называются квазистационарными (Т – период колебаний тока). • При этом условии мгновенное значение силы тока во всех участках цепи будет постоянным. • Для частоты условие квазистационарности будет выполняться в нашей лаборатории «Электричество» при длине цепи ~ 1 м. • Рассматривая в дальнейшем электрические колебания, мы будем считать, что токи квазистационарны.
1. Сопротивление в цепи переменного тока Ток в цепи I = I 0 sin t ; По закону Ома: U = IR = I 0 R sin t - напряжение изменяется синфазно с током; U 0 = I 0 R - амплитуда напряжения. С, L пренебрежимо малы Векторная диаграмма напряжения на сопротивлении:
2. Емкость в цепи переменного тока R 0, L 0 Ток в цепи: I = I 0 sin t, По определению Заряд конденсатора: -кажущееся сопротивление емкости Напряжение отстает по фазе от тока π/2 на -амплитуда напряжения
3. Индуктивность в цепи переменного тока Рассмотрим цепь с R 0 при наличии переменного тока в катушке возникает ЭДС самоиндукции: По закону Ома для участка цепи с ЭДС: U = IR – εC = - εC Кажущееся сопротивление индуктивности Напряжение опережает по фазе ток на π/2 -амплитуда напряжения
4. Закон Ома для переменного тока Напряжение при последовательном соединении R, L, C : Сумма - реактивная составляющая напряжения - активная составляющая напряжения
4. Закон Ома для переменного тока Результирующее колебание: U = U 0 sin ( t + ) Фаза: Амплитуда напряжения: - закон Ома для переменного тока
Переменный ток Полное сопротивление цепи: R – активное (омическое) сопротивление Х= - реактивное сопротивление R – активное сопротивление отвечает за потерю мощности в цепи. X – реактивное сопротивление, определяет величину энергии пульсирующей в цепи с частотой 2ω.
Переменный ток Элементы цепи и соответствующие им импедансы: Импеданс соединений: - последовательного - параллельного Закон Ома в комплексной форме
Электромагнитные колебания. Колебательный контур. Среди различных колебательных систем особое место занимают электромагнитные (электрические) системы, при которых электрические величины (токи, заряды) периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур. Колебательный контур – это электрическая цепь, состоящая из последовательно включенных резистора сопротивлением . катушки индуктивностью , и конденсатора емкостью . Для выяснения механизма возникновения электрических колебаний рассмотрим идеализированный контур, сопротивление которого пренебрежимо мало ( ).
Электромагнитные колебания. Колебательный контур. Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды . В момент времени между обкладками конденсатора возникает электрическое поле, энергия которого равна . Вся энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе. Если теперь замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, то в контуре потечет возрастающий со временем ток . Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки. Этот процесс закончится, когда конденсатор полностью разрядится, а ток в цепи достигнет максимума. Вся энергия колебательного контура сосредоточена в магнитном поле катушки и равна .
Электромагнитные колебания. Колебательный контур. С этого момента ток, не меняя направления, начнет убывать. Однако он прекратится не сразу – его будет поддерживать ЭДС самоиндукции. Ток будет перезаряжать конденсатор, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. Наконец, ток прекратится, а заряд на пластинах конденсатора достигнет максимума. С этого момента конденсатор начнет вновь разряжаться, ток потечет в обратном направлении и процесс повторится. Поскольку потерь энергии нет, в контуре будут совершаться периодические незатухающие колебания: будут изменяться заряд и напряжение на конденсаторе и ток, текущий через катушку. Следовательно, в контуре возникнут колебания, сопровождаемые превращениями энергии электрического и магнитного полей.
Стадии колебательного процесса В конденсаторе В катушке Аналогия между электромагнитными колебаниями в контуре и механическими колебаниями Начало разрядки конденсатора Начинает течь ток Е=Пmax Конденсатор разряжен Ток максимален Е=Кmax Конденсатор перезаряжается Ток равен нулю Е=Пmax Конденсатор вновь разряжен Ток максимален и направлен противопол. Е=Кmax
Электромагнитные колебания Из сопоставления электрических и механических колебаний следует, что: • энергия электрического поля аналогична потенциальной энергии упругой деформации • энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии; • Индуктивность L играет роль массы т • 1/С – роль коэффициента жесткости k • Заряду q соответствует смещение маятника х • Силе тока I ~ скорость υ • Напряжению U ~ ускорение а 15
Электромагнитные колебания. Колебательный контур. Найдем уравнение колебаний в контуре без активного сопротивления. Будем искать закон изменения заряда на обкладках конденсатора. Пусть положительным будет такое направление тока в контуре, когда конденсатор заряжается. Сила тока в цепи определяется выражением 3 2 1 Рассмотрим цепь 1 – 3 – 2 и запишем для нее закон Ома в общем виде для неоднородного участка цепи: - ЭДС, действующая на участке цепи 1 – 2. ЭДС положительна, т. к. способствует движению положительно заряженных носителей тока в выбранном направлении.
Электромагнитные колебания. Колебательный контур. В рассматриваемом случае 3 2 1 Подставим эти значения в выражение для закона Ома, получим: Заменим на ( ), получим: Если ввести обозначение , получим выражение вида Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний в контуре. Оно подобно уравнению механических колебаний.
Электромагнитные колебания. Колебательный контур. Решением этого уравнения является выражение 3 2 1 Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой, определяемой параметрами контура и . Эта частота называется собственной частотой контура и соответствует собственной частоте гармонического осциллятора. Выражение для периода колебаний называется формулой Томсона: Запишем формулу для напряжения на конденсаторе:
Электромагнитные колебания. Колебательный контур. Продифференцировав соотношение для заряда, получим выражение для тока в контуре : 3 2 1 Видно, что сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на . В момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение обращаются в нуль и наоборот.
Электромагнитные колебания. Колебательный контур. График зависимости заряда на пластине конденсатора от времени - свободные гармонические колебания. Заряд в начальный момент связан с амплитудой заряда и начальной фазой колебаний заряда Важно иметь в виду, что собственная частота гармонических колебаний зависит только от свойств самой колебательной системы (см. формулу Томпсона), в то время как амплитуда заряда и начальная фаза колебаний заряда определяются не столько свойствами системы, сколько начальными условиями.
Электромагнитные колебания. Свободные затухающие колебания в контуре. Реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают. Учтем фактор затухания в выражении для закона Ома: Разделим это уравнение на и заменим ток на заряд . В итоге получим: Введем обозначение и, учитывая, что , получим окончательно:
Электромагнитные колебания. Свободные затухающие колебания в контуре. Это уравнение, как и ожидалось, совпадает с дифференциальным уравнением затухающих механических колебаний. При условии, что , т. е. при решение уравнения затухающих колебаний имеет вид где . Если в это выражение подставить соответствующие выражения для и , получим следующее соотношение для частоты затухающих колебаний: При получится выражение для собственной частоты незатухающих свободных колебаний в контуре.
Электромагнитные колебания. Свободные затухающие колебания в контуре. Из уравнения для затухающих колебаний легко получить формулу для напряжения на конденсаторе, разделив уравнение на емкость , и выражение для тока в контуре после дифференцирования уравнения. Запишем один из выводов, которые можно сделать из анализа формул для тока и падения напряжения на конденсаторе колебательного контура: при наличии активного сопротивления в контуре сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на угол больший, чем ( ). Изобразим график изменения заряда со временем.
Электромагнитные колебания. Свободные затухающие колебания в контуре. График подобен соответствующему графику для механических колебаний.
Электромагнитные колебания. Свободные затухающие колебания в контуре. Для характеристики колебаний используют следующие параметры: 1. Логарифмический декремент затухания. Если и - амплитуды двух последовательных колебаний, которые соответствуют моментам времени, отличающимся на период, то отношение называется декремент затухания. Логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом затухания - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в раз.
Электромагнитные колебания. Свободные затухающие колебания в контуре. Если в выражение для . подставить значения и , получим, что определяется параметрами контура, т. е. является его характеристикой: 2. Добротность колебательной системы. Для характеристики колебательной системы используется величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания. При малых затуханиях следовательно, можно записать: Добротность колебательной системы пропорциональна числу колебаний , совершаемых за время релаксации.
Добротность колебательного контура определяется как величина обратно пропорциональная (Чем меньше затухание, тем выше добротность) Время затухания – время за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз Число колебаний совершаемых за время затухания то W – энергия контура в данный момент, ΔW – убыль энергии за один период, следующий за этим моментом
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
ЛЕКЦИЯ 18 4 мая 2011 г. Продолжение… Вынужденные колебания. Резонанс. Вспомним, что было В механических колебаниях….
Вынужденные колебания. Повторение-мать учения!!! Интерес для техники представляет возможность поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери реальной колебательной системы с помощью периодически действующего фактора Пусть таким фактором в механической колебательной системе будет действие вынуждающей силы, меняющейся по гармоническому закону: где и соответственно амплитуда и собственная частота вынуждающей силы. Рассмотрим пружинный маятник. Уравнение движения такого маятника получено нами в виде: Приблизим идеализированную колебательную систему к реальной, введя фактор диссипации энергии, например, силу трения.
Вынужденные колебания. Сила трения пропорциональна скорости, следовательно, выражение для силы трения можно записать как где - коэффициент сопротивления. Учтем наличие сил трения в законе движения маятника: Это уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Пусть потери, возникающие в колебательной системе за счет действия сил трения, компенсируются действием вынуждающей силы . Тогда уравнение движение маятника можно представить в виде
Вынужденные колебания. Преобразуем это выражение. Разделим обе части на , введем обозначения: - коэффициент затухания пружинного маятника В итоге получим: или Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний пружинного маятника
Вынужденные колебания. Рассмотрим решение уравнения Изобразим вынужденные колебания на графике. Из математики: решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение имеет вид и соответствует свободным затухающим колебаниям. Установление колебаний Установившиеся колебания Это решение играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний. С течением времени из-за множителя роль этого слагаемого в общем решении дифференциального уравнения уменьшается.
Вынужденные колебания. По прошествии достаточно большого для установления колебаний промежутка времени общим решением можно пренебречь, сохраняя лишь частное решение неоднородного уравнения. Частное решение, отвечающее установившимся вынужденным колебаниям маятника, имеет вид: Запишем справочно выражения для амплитуды вынужденных колебаний и величины , которая имеет смысл разности фаз между вынуждающей силой и вынужденными колебаниями.
Вынужденные колебания. Таким образом, установившиеся вынужденные колебания представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Для рассматриваемой колебательной системы с заданными параметрами ( и . ) амплитуда вынужденных колебаний зависит от величины и частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания также зависит от частоты вынуждающей силы.
Вынужденные колебания. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения Колебательная система оказывается наиболее отзывчивой на действие вынуждающей силы именно на этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой. Для определения резонансной частоты нужно найти минимум выражения, стоящего в знаменателе соотношения для амплитуды вынужденных колебаний. Если продифференцировать знаменатель и приравнять его к нулю, получим выражение для резонансной частоты в виде:
Вынужденные колебания. Если подставить полученную формулу в выражение для амплитуды вынужденных колебаний в установившемся состоянии, получим выражение для амплитуды при резонансе: Из этого выражения следует, что при отсутствии сопротивления среды ( ) амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность. Кроме того, при этом условии резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний системы . Явление резонанса часто оказывается полезным, особенно в акустике, радиотехнике. Вместе с тем, это явление необходимо учитывать. Например, собственная частота вибраций корпуса корабля или крыльев самолета должны сильно отличаться от частоты колебаний, которые могут возбуждаться вращением гребного винта или пропеллера. В противном случае могут возникнуть опасные вибрации.
ПРОВЕРЬТЕ «ВЫЖИВАЕМОСТЬ» СВОИХ ЗНАНИЙ ПО МЕХАНИКЕ!!! Задание из теста 27. 11. 2010
ПРОВЕРЬТЕ «ВЫЖИВАЕМОСТЬ» СВОИХ ЗНАНИЙ ПО МЕХАНИКЕ!!! Задание из теста 27. 11. 2010
РЕШЕНИЕ Задание из теста 27. 11. 2010
Электромагнитные колебания. Вынужденные колебания в контуре. Для компенсации потерь в колебательном контуре нужно оказывать на контур периодически изменяющееся воздействие. Это можно осуществить, например, включив последовательно с элементами контура переменную ЭДС или, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение. Это напряжение нужно прибавить к ЭДС самоиндукции в исходной формуле для затухающих колебаний: После преобразований получим уравнение вынужденных колебаний:
Электромагнитные колебания. Вынужденные колебания в контуре. Получили уже известное нам линейное неоднородное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Решение неоднородного дифференциального уравнения представим в виде его частного решения для установившихся колебаний. Это решение, как и для механических колебаний, имеет вид: где - амплитуда заряда на конденсаторе; (пси) – разность фаз между колебаниями заряда и внешней ЭДС. Выражения для и , как и для механических колебаний, запишем без вывода:
Электромагнитные колебания. Вынужденные колебания в контуре. С использованием соотношений для постоянных величин и можно провести анализ параметров вынужденных колебаний в контуре. Как и в случае затухающих свободных колебаний ограничимся лишь общими выводами о сдвиге фаз колебаний тока и напряжения на элементах контура: а) напряжение на изменяется в фазе с током; б) напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на угол ; в) напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол .
Модель. Свободные колебания в RLC-контуре
Пояснения к модели. Свободные колебания в RLC-контуре Модель предназначена для изучения свободных колебаний в последовательном RLC-контуре при различных значениях параметров. l В идеальном контуре без потерь (R = 0) свободные незатухающие колебания происходят на частоте l При наличии потерь (R ≠ 0) в контуре свободные колебания становятся затухающими. Амплитуда колебаний уменьшается во времени по экспоненциальному закону. Время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e = 2, 7 раза, называется временем затухания. Оно равно τ = 2 L / R. l В компьютерной модели можно изменять величины R, L и C, а также первоначальный заряд конденсатора Q 0. На дисплее высвечиваются графики Q (t) и тока I(t). Ток I(t) в цепи опережает заряд Q (t) конденсатора по фазе на угол π / 2. Обратите внимание, что два раза за период происходит процесс перекачки электрической энергии, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию катушки и обратно. l
Модель. Вынужденные колебания в RLC-контуре
Пояснения к модели. Вынужденные колебания в RLC-контуре Вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника. Если внешнее гармоническое напряжение включено в RLC-контур, то амплитуда вынужденных колебаний тока или напряжения на элементах цепи сильно зависит от соотношения между частотой ω генератора и собственной частотой ω0. При ω = ω0 наступает резонанс. При резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе (UC) и катушке индуктивности (UL) становятся максимальными. График зависимости отношения (UC / U) или (UL / U) называется резонансной кривой. «Острота» резонансной кривой сильно зависит от энергетических потерь в контуре. При увеличении активного сопротивления контура резонансная кривая становится менее «острой» . Между напряжением генератора и напряжением на конденсаторе имеется фазовый сдвиг, зависящий от соотношения между ω и ω0. При резонансе фазовый сдвиг равен π / 2. Соотношения между амплитудами напряжений и токов и их фазами при вынужденных колебаниях удобно анализировать с помощью векторных диаграмм. В компьютерной модели можно изменять параметры RLC-контура, а также частоту ω внешнего источника. При изменении параметров на дисплее высвечивается новая резонансная кривая, на которой точкой отмечается результат компьютерного эксперимента. Одновременно высвечивается векторная диаграмма, на которой с помощью векторов изображаются колебания тока и напряжений на элементах цепи.
Задание из теста 27. 11. 2010
Решение
ПРОВЕРЬТЕ «ВЫЖИВАЕМОСТЬ» СВОИХ ЗНАНИЙ ПО МЕХАНИКЕ!!! Задание из теста 27. 11. 2010
ПРОВЕРЬТЕ «ВЫЖИВАЕМОСТЬ» СВОИХ ЗНАНИЙ ПО МЕХАНИКЕ!!! Задание из теста 27. 11. 2010
Скачать презентацию ЛЕКЦИЯ ПЛАН ЛЕКЦИИ 1 Переменный ток 2 Колебательный
Лекция 10.2 Колебательный контур.pptx