Лекция Переменный ток Импеданс 1 Переменный ток 2

Лекция: «Переменный ток. Импеданс» 1. Переменный ток 2. Полное сопротивление цепи переменного тока. Резонанс напряжений. 3. Импеданс тканей организма. Физические основы реографии. 4. Области α-, β- и γ-дисперсии импеданса (самостоятельно, Ремизов А. Н. , Максина А. Г. , Потапенко А. Я. Медицинская и биологическая физика. М. , 2004, § 14. 4)

1. Переменный ток В широком смысле слова переменный ток — любой ток, изменяющийся со временем. Однако чаще термин «переменный ток» применяют к квазистационарным токам, зависящим от времени по гармоническому закону. Квазистационарным называют такой ток, для которого время установления одинакового значения по всей цепи значительно меньше периода колебаний. Будем считать, что для квазистационарных токов, так же как и для постоянных, сила тока одновременно одинакова в любом сечении неразветвленного проводника. Для них справедлив закон Ома, однако сопротивление цепи зависит от частоты изменения тока. Потерями энергии на электромагнитное излучение этих токов будем пренебрегать. Переменный ток можно рассматривать как вынужденные электромагнитные колебания. Представим три разных цепи (рис. 1, а — 3, а), к каждой из которых приложено переменное напряжение

U = Um sinωt, (1) где Um – амплитудное значение напряжения, ω-круговая частота колебаний. Можно показать, что сила тока в цепи с резистором (рис. 1, а) будет изменяться в фазе с приложенным напряжением: I=Im sin ωt, (2) Рис. 1 Сила тока в цепи с катушкой индуктивности (рис. 2, а) будет отставать по фазе от приложенного напряжения на π/2: I=Im sin ( ωt – π/2), (3)

Рис. 2 а ток в цепи с конденсатором (рис. 3, а) будет опережать по фазе напряжение на π/2: I=Im sin ( ωt + π/2), (4) Рис. 3

Векторные диаграммы, соответствующие этим примерам, показаны на рис. 1, б – 3, б. Для цепи с резистором имеем омическое сопротивление (5) для цепи с катушкой индуктивности – индуктивное сопротивление (6) а для цепи с конденсатором – емкостное сопротивление (7)

2. Полное сопротивление цепи переменного тока. Резонанс напряжений. Рассмотрим цепь, в которой последовательно соединены резистор, катушка индуктивности и конденсатор (рис. 4) Рис. 4 В общем случае сила тока в цепи и напряжение изменяются не в одной фазе, поэтому I = Im sin (ωt-φ), (8) где φ – разность фаз напряжения и силы тока. Сумма напряжений на отдельных участках цепи равна внешнему напряжению: U= IR+ IXL+ IXC = UR + UL + UС, (9)

Рис. 5 На рис. 5 по оси токов направлен вектор амплитуды силы тока Im. Так как по всей цепи амплитуда силы тока одинакова, то амплитуды напряжений на участках цепи отложены относительно этого вектора: вектор URm – в одной фазе с силой тока; вектор ULm– с опережением силы тока по фазе на , вектор UCm –c отставанием от силы тока по фазе на. Используя теорему Пифагора, имеем U 2 м=U 2 Rm+(ULm-UCm)2 , (10)

Подставляя в (10) выражения этих амплитуд из (5)-(7) и учитывая закон Ома, находим (11) где Z – полное сопротивление цепи переменного тока, называемое импедансом. Из (11) получаем (12) Омическое сопротивление R цепи называют также активным, оно обусловливает выделение теплоты в цепи в соответствии с законом Джоуля—Ленца. Разность индуктивного и емкостного сопротивлений (XL - Хс) называют реактивным сопротивлением. Оно не вызывает нагревания элементов электрической цепи.

Из рис. 5 выразим значение tgφ: (13) Если Xc =XL , то tgϕ=0 и ϕ=0. Это означает, что сила тока и приложенное напряжение изменяются в одной фазе так, как будто в цепи имеется только омическое сопротивление; напряжения на индуктивности и емкости одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе. Этот случай вынужденных электрических колебаний называют резонансом напряжения и резонансная частота равна: (14) При этом условии полное сопротивление Z цепи имеет наименьшее значение, равное R, а сила тока достигает наибольшего значения. Векторная диаграмма для резонанса напряжений в цепи показана на рис. 6. а.

а) Рис. 6 б) Если Lω>1/Сω, то tgϕ>0 и ϕ>0; сила тока отстает по фазе от приложенного напряжения (рис. 5). Если Lω<1/Сω , то tgϕ<0 и ϕ<0 - сила тока опережает по фазе приложенное напряжение. Этому случаю соответствует векторная диаграмма на рис. 6 б.

3. Импеданс тканей организма. Физические основы реографии Ткани организма проводят не только постоянный, но и переменный ток. В организме нет систем, подобных катушкам индуктивности, поэтому его индуктивность близка к нулю. Биологические мембраны (а следовательно и весь организм), обладают емкостными свойствами. Поэтому импеданс тканей организма определяется только омическим и емкостным сопротивлением. Омические и емкостные свойства биологических тканей моделируются с помощью эквивалентных электрических схем. Рассмотрим некоторые из них (рис. 7).

Рис. 7 Для схемы, изображенной на рис. 7. а, частотная зависимость импеданса может быть получена из (12) при L = 0: (15)

В соответствии с формулой (15) импеданс уменьшается с увеличением частоты, однако имеется противоречие с опытом: при ω→ 0 Z→∞. Последнее означает бесконечно большое сопротивление при постоянном токе, что и противоречит опыту. Для схемы, изображенной на рис. 7, б, при ω→∞ Z→ 0, что не соответствует опыту. Наиболее удачна схема рис. 7, в. В ней отсутствуют противоречия с опытом, характерные для двух предыдущих схем. Именно такое сочетание резисторов и конденсатора может быть принято за эквивалентную электрическую схему тканей организма. Частотная зависимость импеданса эквивалентной электрической схемы соответствует общему ходу экспериментальной зависимости импеданса от частоты.

Частотная зависимость импеданса позволяет оценить жизнеспособность тканей организма, что важно знать для пересадки (трансплантации) тканей и органов. Различие в частотных зависимостях импеданса получается и в случаях здоровой и больной ткани. Импеданс тканей и органов зависит также и от их физиологического состояния. Так, при кровенаполнении сосудов импеданс изменяется в зависимости от состояния сердечнососудистой деятельности. Диагностический метод, основанный на регистрации изменения импеданса тканей в процессе сердечной деятельности, называют реографией (импедансплетизмография). С помощью этого метода получают реограммы головного мозга (реоэнцефалограмма), сердца (реокардиограмма), магистральных сосудов, легких, печени и конечностей. Измерения обычно проводят на частоте 30 к. Гц.