ЛЕКЦИЯ НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 1 Метод множителей Лагранжа 2

ЛЕКЦИЯ НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 1. Метод множителей Лагранжа 2. Нелинейная оптимизация портфеля ценных бумаг

1. Метод множителей Лагранжа Нелинейное программирование — это раздел математического программирования, объединяющий теорию и методы решения задач отыскания экстремальных значений, в которых целевая функция или система ограничений (или та и другая) содержат выражения, нелинейные относительно искомых величин.

1. Метод множителей Лангража • Если среди ограничений нет неравенств, т. е. если задача дана в виде: • ƒ(х1, х2, . . . , xn) (3. 1) • при условиях • g 1(x 1, x 2, . . . , xn)=b 1 • g 2(x 1, x 2, . . . , xn)=b 2 (3. 2) • . . . • gm(x 1, x 2, . . . , xn)=bm • x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0, • то ее можно решить методом множителей Лагранжа. Этот метод называется также задачей на условный экстремум, так как поведение независимых переменных ограничено определенными условиями, например условиями (3. 2).

1. Метод множителей Лагранжа • Метод множителей Лагранжа позволяет найти условные экстремумы функции (3. 1) п независимых переменных при условии, что независимые переменные удовлетворяют ограничениям (3. 2).

2. Нелинейная оптимизация портфеля ценных бумаг • Нелинейное программирование можно использовать, например, для оптимизации портфеля ценных бумаг. Предположим, что портфель составлен из n-го числа различных видов ценных бумаг. Доходность каждой ценной бумаги является случайной величиной. Пусть xj — доля в общем вложении, приходящаяся на j-й вид ценных бумаг, — подчиняется соотношению: (3. 3)

2. Нелинейная оптимизация портфеля ценных бумаг • Ожидаемая доходность (эффективность) aj jй ценной бумаги, входящей в портфель, является математическим ожиданием ее доходности. Ожидаемая доходность портфеля, являющаяся математическим ожиданием от суммарной доходности входящих в портфель ценных бумаг, вычисляется по формуле: (3. 4), где aj – доходность j-го вида акций

2. Нелинейная оптимизация портфеля ценных бумаг • Дисперсия доходности портфеля определяется соотношением: (3. 5) σij — ковариация (среднее из произведений отклонений двух случайных величин) случайных доходностей i-й и j-й ценных бумаг

2. Нелинейная оптимизация портфеля ценных бумаг Среднее квадратическое отклонение σ, вычисляемое по формуле , является мерой риска портфеля. При среднем квадратическом отклонении, равном нулю, портфель является безрисковым, т. е. инвестор получит ожидаемую доходность. Чем больше среднее квадратическое отклонение, тем больше разброс ожидаемой доходности и тем больше риск.

2. Нелинейная оптимизация портфеля ценных бумаг • Ожидаемая доходность портфеля и дисперсия его доходности зависят от структуры портфеля, т. е. от типов ценных бумаг и их долей в общем вложении. Можно построить оптимальный портфель, минимизирующий риск при фиксированном уровне доходности и нормировании весовых коэффициентов. Такое решение минимизации риска впервые рассмотрено Марковицем. Математическая формулировка задачи имеет вид:

2. Нелинейная оптимизация портфеля ценных бумаг • при условиях Мы получили задачу нелинейного математического программирования, оптимальное решение которой может быть найдено с помощью метода множителей Лагранжа.

2. Нелинейная оптимизация портфеля ценных бумаг • при условиях Функция Лагранжа для условий имеет вид:

2. Нелинейная оптимизация портфеля ценных бумаг Согласно пункту 3. 1 оптимальное решение находится из решения относительно xj, μ и λ системы линейных уравнений:

2. Нелинейная оптимизация портфеля ценных бумаг • В электронных таблицах эта задача решается с помощью надстройки «Поиск решений» . • Например, даны три типа ценных бумаг, характеристики которых приведены в таблице 3. 1.

Таблица 3. 1 j x 1 x 2 x 3 aj 0, 05 0, 10 0, 15 σ2 j 0, 25 0, 50 0, 80

2. Нелинейная оптимизация портфеля ценных бумаг • Допустим, ожидаемая доходность составит ap= 0, 10 • Математическая модель будет иметь вид рис. 11. 2. Рис. 3. 1. . Модель оптимального пакета акций

2. Нелинейная оптимизация портфеля ценных бумаг • В графах записаны переменные, в строках значения доходности и дисперсия. Строка «Акций» показывает наличие того или иного вида акции в модели. В строке «Искомые переменные» происходит поиск оптимальной долей акций, в пакете исходя из вышеуказанных ограничений. Столбец «Значения ограничений» включает функцию суммы произведения исходной строки на строку «Искомые переменные» .

2. Нелинейная оптимизация портфеля ценных бумаг • В целевой ячейке согласно функции Лагранжа искомые переменные возводятся в квадрат (используется функция «СТЕПЕНЬ» ). • Запускаем надстройку «Поиск решений» , выбираем целевую ячейку и устанавливаем её значение на минимум. Добавляем ограничение на строгое равенство. В параметрах устанавливаем значения неотрицательности. Устанавливать параметр линейности модели не надо, потому что наша модель нелинейная.

2. Нелинейная оптимизация портфеля ценных бумаг • Анализ результатов решения. При увеличении или уменьшении ожидаемой доходности оптимального портфеля ap по сравнению с граничными значениями, доли от общего вложения xj становятся отрицательными.