Лекция на тему Элементы математической логики Выполнила Мусатова

Лекция на тему: Элементы математической логики Выполнила: Мусатова И. Л.

Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями. Основоположником алгебры логики является Джордж Буль, впервые применивший алгебраические методы для решения традиционных логических задач. Джордж Буль (1815 – 1864)

Алгебра логики Алгебра Знакомство с математической логикой начнем с рассмотрения наименьших языковых конструкций – высказываний. Определение. Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Например: Тула – столица РФ (ложно) 17>5 (истинно) Число 12 – четное (истинно) Каждое высказывание либо истинно, либо ложно; одновременно быть истинным и ложным высказывание не может.

Алгебра логики Алгебра Высказывания могут быть образованы с помощью слов или символов, однако, далеко не каждый набор слов или символов является высказыванием. Например: ü Математика – интересный предмет. ü Y>0. ü Мороженное вкусное. Судить об истинности этих предложений невозможно, поэтому они не являются высказываниями. Для обозначения высказываний обычно используют заглавные буквы латинского алфавита A, B, C и т. д.

Операции над высказываниями Высказывания А {6<7}, В {число 6 простое} являются примерами простых высказываний. Из простых высказываний при помощи логических связок (союзов «и» , «или» , слов «если…, то…» , «тогда и только тогда, когда…» ) можно образовать новые (сложные) высказывания, например: С {6<7 ИЛИ число 6 простое}. Новые высказывания можно образовывать и из высказываний, которые никак не связаны между собой по смыслу: D {ЕСЛИ слон насекомое, ТО Антарктида покрыта тропическими лесами}.

Операции над высказываниями В математической логике истинность или ложность сложных высказываний, образованных при помощи логических связок, устанавливается независимо от смысла простых высказываний, составляющих сложное. Истинность или ложность сложного высказывания полностью определяется тем, 1) какие логические связки использованы для образования сложного высказывания; 2) какие из простых высказываний, образующих сложное, истинны и какие ложны. В алгебре логики истинностные значения принято обозначать цифрами 1 (истина) и 0 (ложь).

Операции над высказываниями Для определения истинности или ложности составного высказывания в логике вводятся операции над высказываниями, соответствующие связкам, при помощи которых образуются сложные высказывания: союзам «и» , «или» , словам «если…, то…» , «тогда и только тогда, когда…» придается точный однозначный смысл. Если высказывание образовано из двух высказываний при помощи союза «ИЛИ» , то говорят, что оно является суммой (дизъюнкцией) этих высказываний. Сумму любых высказываний записывают в виде А+В (или А В). В языках программирования обозначение Or.

Операции над высказываниями Высказывание, составленное из двух высказываний при помощи союза «И» , называют произведением (конъюнкцией) этих высказываний. Произведение высказываний записывают в виде А·В (или А В, или А В). В языках программирования обозначение And. Высказывание, образованное из двух высказываний при помощи слов «тогда и только тогда, когда…» называют эквивалентностью. Для записи эквивалентности используют знак (или ), т. е. пишут А В (А В).

Операции над высказываниями Высказывание, образованное из двух высказываний при помощи слов «если…, то…» называют импликацией. Импликацию записывают в виде А В. Высказывание А называется посылкой или условием, высказывание В – заключением. Теперь можно сказать, что высказывание C является суммой высказываний А и В. Высказывание: D {ЕСЛИ слон насекомое, ТО Антарктида покрыта тропическими лесами} является импликацией.

Правила истинности операций над высказываниями Правило 1. Сумма высказываний А+В является истинным высказыванием тогда и только тогда, когда по крайней мере одно из слагаемых истинно. Правило 2. Произведение высказываний А·В истинно только в том случае, когда оба сомножителя истинны. Правило 3. Эквивалентность А В представляет собой ложное высказывание, если одно из высказываний истинно, а другое ложно; в противном случае, т. е. если оба высказывания истинны или оба высказывания ложны, эквивалентность является истинным высказыванием.

Правила истинности операций над высказываниями Правило 4. Импликация А В есть ложное высказывание только в том случае, если А (условие) – истинно, а В (заключение) – ложно; во всех других случаях, высказывание А В считается истинным. Пример. Даны два высказывания А {2=3} и B {2<3}. Определить истинность следующих высказываний: А+В {2=3 ИЛИ 2<3} – истинно, поскольку истинно одно из слагаемых (правило 1). АВ {2=3 И 2<3} – ложно, поскольку не оба сомножителя истинны (правило 2). А В {ЕСЛИ 2=3, ТО 2<3} – истинно, поскольку условие ложно, а заключение истинно (правило 4).

Таблицы истинности высказываний Таким образом, истинность или ложность высказывания зависит только от распределения истинности и ложности между высказываниями, над которыми производятся логические операции. Эту зависимость удобно описывать таблицами истинности логических операций. Это такт называемый табличный способ задания функций алгебры логики. Помимо рассмотренных четырех логических операций в математике используется операция отрицания. Эта операция соответствует логической связке «не» или словам «неверно, что…» .

Таблицы истинности высказываний Дизъюнкция Конъюнция А В А+В А В А·В 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 Импликация Отрицание А А Эквивалентность А В А В 0 1 А В А В 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1

Таблицы истинности высказываний Пример. Составить таблицу истинности для высказывания, имеющего вид В А (если не В, то не А). Сравним полученную таблицу с таблицей для импликации А В (если А, то В). Таблицы совпадают. Такие высказывания называются равносильными. Равносильные высказывания соединяются знаком равенства: А В = В А А 1 1 0 В 1 0 1 А 0 0 1 В 0 1 0 В А 1 0 0 1 1 А 1 1 0 В 1 0 0 1 А В 1 0 1 1

Литература: 1. 2. 3. 4. Математика: Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. – 3 е изд. –М. : Большая рос. энцикл. , 1998. Пронина, Е. В. Математика и информатика: Учеб. пособие / Е. В. Про нина, Р. Р. фаева. – Тула: Изд Я во Тул. гос. пед. ун та Л. Н. Толстого, 2008. Родионова, О. В. Информационные технологии. Практикум: учебное пособие для студентов гуманитарных специальностей педагогических вузов / О. В. Ро дионова, Ю. И. огатырева. – Тула: Б Изд во Тул. гос. пед. ун та им. Л. Н. Толстого, 2005. Математика и информатика. Программа общеобразовательного курса. Глейзер Г. Д. , Роберт И. В. , Розов Н. Х. – М. : Изд во УРАО, 2002.

Аристотель (384 322 до н. э. ) Усвоение преподанного зависит от привычек слушателя; какие у нас сложились привычки, такого изложения мы и требуем, и то, что говорят против обыкновения, кажется неподходящим, и из за непривычности более непонятным и чуждым, ибо привычное более понятно. И одни хотят, чтобы все излагалось точно, а других точность тяготит или потому, что они не в состоянии связать [одно с другим], или потому, что считают точность мелочностью. Поэтому надо приучиться к тому, как воспринимать каждый предмет, ибо нелепо в одно и то же время искать и знание и способ его усвоения. Между тем нелегко достигнуть даже одного из них.