Лекция N 3 Применение производной для исследования функций

Лекция N 3 Применение производной для исследования функций. Правило Лопиталя. Производные и дифференциалы высших порядков.

Связь непрерывности и дифференцируемости функций. Теорема 3. 1 Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке х, то она непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно! y y x 0 x Бесконечная производная Нет производной Следствие. Если функция терпит разрыв в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

Теорема Лагранжа Теорема 3. 2 Пусть функция y = f(x) определена, непрерывна и дифференцируема на заданном промежутке [a, b], тогда. Тогда между a и b найдется такая точка с ( a < с < b ), что для неё выполняется равенство Геометрическое истолкование Отношение есть угловой коэффициент секущей AB. Производная функция равна угловому коэффициенту касательной. Теорема Лагранжа утверждает, что на дуге AB найдется хотя бы 1 точка, в которой касательная параллельна хорде. B А C

Правило Лопиталя Гийом Франсуа, маркиз де Лопиталь Теорема 3. 3 Если функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, при x → a являются бесконечно малыми величинами (f (a)= g(a) = 0) и g / (x)≠ 0 в данной окрестности точки a, то При условии, что существует предел

Примеры : 1) 2) 3) =

Замечания к теореме : 1. Теорема верна в случае, когда функции f(x) и g(x) не определены при x = a, но limx→ a f(x) = 0 и limx→ a g(x) =0 2. Теорема верна также верна, когда х → ∞ 3. Если производные f / (x) и g / (x) удовлетворяют тем же условиям, что и функции f(x) и g(x), теорему можно применить еще раз. (Пример 3)

Типы неопределенностей, решаемые с помощью правила Лопиталя. 1. 2. 3. Пусть f(x) → 0, φ(x)→ ∞

4. Пусть f(x) →∞, φ(x)→∞ при x → x 0

Производные высших порядков. Производную f’(x) функции y = f(x) называется ПРОИЗВОДНОЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА или просто первой производной этой функции. Производная функции является функцией => ее можно дифференцировать. ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ или производной второго порядка называется производная от ее первой производной. называется производная от ПРОИЗВОДНОЙ (n -1) - го ПОРЯДКА или n-й производной. Обозначение: f (n) (x) Производная n – го порядка (nєN)

Дифференциалы высших порядков Пусть y = f(x) дифференцируемая функция, а её аргумент x - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f / (x) dx есть также функция x. Следовательно можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом и обозначается d 2 y = d (dy) = d 2 y , d 2 f (x) f / / (x)dx * dx = f / / (x) (dx )2 = = f / / (x) dx 2 Аналогичным образом можно найти дифференциалы 3 - го порядка и т д n – го порядка: f (n) (x) = d n y dxn

Исследование функций с помощью производных Признак постоянства функции. Признаки возрастания и убывания функций. Теорема 3. 4 Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на заданном промежутке X и имеет конечную производную f / (x). Для того, чтобы y = f (x) была постоянной необходимо и достаточно чтобы f / (x) = 0 внутри промежутка X. Док – во: Необходимость. Если y = f(x) = const, то следует, что f / (x) = 0. Достаточность. Следует из т. Лагранжа Теорема 3. 5 (Необходимое и достаточное условия) Если функция y = f (x) дифференцируема и возрастает на некотором промежутке X, то f / (x) ≥ 0. Если функция убывает, то f / (x) ≤ 0. Док – во : Необходимость. Пусть функция возрастает, запишем определение производной

y y y = f (x) f (x 0 + Δx ) f (x 0 + Δx ) x 0 + Δx x 0 x а) б) Графики возрастающей функции : a) Δx < 0; б) Δx > 0 f (x 0 + Δx ) < f (x) , Δx < 0 ; x x 0 + Δx f (x 0 + Δx ) > f (x) , Δx > 0

Достаточность. Пусть теперь, обратно, дано что f / (x) ≥ 0 внутри X. Возьмем два значения x 1 и x 2 (x 1 < x 2 ) внутри промежутка X. Применим формулу Лагранжа Так как то и функция y = f (x) будет возрастающей на промежутке X, ч т. д.

Экстремумы функций Определение Точка x 0 называется точкой максимума функции y = f(x), если существует такая δ - окрестность точки x 0 , что для всех х ≠ x 0 из этой окрестности выполняется неравенство f (x) < f (x 0 ). Обозначение: xmax Точка x 0 называется точкой минимума функции y = f(x), если существует такая δ - окрестность точки x 0 , что для всех х ≠ x 0 из этой окрестности выполняется неравенство f (x) > f (x 0 ) Обозначение: xmin y y = f(x) max min O x 1 - δ x 1 + δ x 2 - δ x x 2 + δ

Значение, которое принимает функция в точке xmax называют максимумом функции ymax Значение, которое принимает функция в точке xmin называют минимумом функции ymin

Теорема 3. 6 (Необходимое условие экстремума) Если дифференцируемая функция y = f (x) имеет экстремум в точке x 0 , то ее производная в этой точке равна нулю : f / (x) = 0. Док –во : Пусть, для определенности x 0 - точка максимума. Значит в окрестности точки x 0 выполняется неравенство : f(x) > f (x 0 + Δx ) f (x 0 + Δx) – f(x 0) Но тогда: Δx < 0 если Δх > 0 и Δy Δx > 0 , если Δх < 0 По условию теоремы производная существует. Переходя к пределу, при Δх → 0, получим f / (x 0 ) ≥ 0, если Δх < 0 и f / ( x 0 ) ≤ 0, если Δх > 0 Поэтому f / ( x 0 ) = 0 Аналогичным образом доказывается утверждение, если точка x 0 – точка минимума функции.

Геометрически y равенство f / ( x 0 ) = 0 означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная параллельна оси Ох y = f(x) O x 0 x Обратная теорема неверна ! то это не значит, что x 0 т. е если f / ( x 0 ) = 0, - точка экстремума. Пример : Для функции y = x 3 ее производная y / = 3 х2 равна нулю при х = 0, но х = 0 не точка экстремума. Cуществуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной например непрерывная функция y = │x│ в точке х = 0, производной не имеет но точка х = 0 - точка минимума.

Теорема 3. 7 (Достаточное условие экстремума) Если непрерывная функция y = f (x) дифференцируема в некоторой δ - окрестности критической точки x 0 , и при переходе через неё (слева направо) производная f / (x) меняет знак с плюса на минус, то x 0 есть точка максимума, с минуса на плюс, то x 0 - точка минимума y y f / >0 x 0 - δ f x 0 / f <0 x 0 + δ x / <0 x 0 - δ f x 0 / >0 x 0 + δ x

Выпуклость и вогнутость кривых y y y = f(x) f(x 0 +Δx) dy f(x 0 +Δx) y = f(x) Δy Δy f(x 0) dy f(x 0) x 0 x 0 +Δx x Определение Кривая называется выпуклой на некотором промежутке, если она целиком лежит под касательной. Кривая называется вогнутой на некотором промежутке, если она целиком лежит над касательной.

Теорема 3. 8 Если функция y = f(x) дважды дифференцируема на некотором промежутке и на данном промежутке, f // < 0, то график функции выпуклый, если f // > 0, то график функции вогнутый на данном промежутке. y xc Y =f(x) f / / (x) < 0 f / / (x) > 0 - точка перегиба xc x Точка графика функции, отделяющая части графика функции разной выпуклости называется точкой перегиба

Полная схема исследования функций с помощью первой и второй производной. Для построения графика удобно провести следующее исследование: 1. Элементарное исследование 1. Определение области определения D и области значений E функции 2. Найти точки пересечения с осями координат 3. Исследовать функцию на четность и периодичность 2. Нахождение асимптот графика

3. Исследование функции по первой производной 1. 2. 3. 4. 5. Найти y / (x) Найти критические точки первого рода Найти интервалы монотонности Найти точки экстремумов xmax xmin Вычислить ymax ymin 4. Исследование функции по второй производной 1. 2. 3. 4. 5. Найти y // (x) Найти критические точки второго рода Найти интервалы y // (x) > 0, y // (x) <0 Найти точки перегиба Вычислить значения функции в точках перегиба