Скачать презентацию Лекция Методы прогнозирования на основе анализа динамики экономических Скачать презентацию Лекция Методы прогнозирования на основе анализа динамики экономических

тренд модели прогн.ppt

  • Количество слайдов: 56

Лекция Методы прогнозирования на основе анализа динамики экономических процессов 1. Выявление тенденции в рядах Лекция Методы прогнозирования на основе анализа динамики экономических процессов 1. Выявление тенденции в рядах динамики 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей

1. Выявление тенденции в рядах динамики Статистики определяют динамику как изменение явлений во времени. 1. Выявление тенденции в рядах динамики Статистики определяют динамику как изменение явлений во времени. Социально-экономические явления в процессе развития во времени подвергаются влиянию множества факторов. Основные факторы определяют закономерность, тенденцию развития явления, второстепенные, случайные вызывают колебания уровней. Поэтому закономерности динамики, направления ее эволюции не всегда проявляется чётко, они затушёвываются воздействием большого количества второстепенных факторов.

1. Выявление тенденции в рядах динамики Изучение динамики социально-экономических явлений ведётся путём построения и 1. Выявление тенденции в рядах динамики Изучение динамики социально-экономических явлений ведётся путём построения и анализа рядов динамики. Ряд динамики – это числовые значения экономического показателя, расположенные в хронологическом порядке. Ряд динамики состоит из двух элементов: 1) числовых значений показателя, называемых уровнями ряда; 2) моментов (дат) или периодов времени, к которым относятся уровни.

1. Выявление тенденции в рядах динамики Ряды динамики бывают двух видов: • моментные; • 1. Выявление тенденции в рядах динамики Ряды динамики бывают двух видов: • моментные; • интервальные (периодические). В моментных рядах динамики уровни ряда выражают величину явления на определённую дату. В интервальных рядах уровни ряда характеризуют величину явления за определённый период времени.

Пример интервального ряда динамики (табл. 1). Таблица 1 Динамика валовой прибыли в сельскохозяйственной организации, Пример интервального ряда динамики (табл. 1). Таблица 1 Динамика валовой прибыли в сельскохозяйственной организации, тыс. руб. 2008 г. 2009 г. 2010 г. 2011 г. 2012 г. 1399 731 1886 623 2745

1. Выявление тенденции в рядах динамики Пример моментного ряда динамики (табл. 2). Таблица 2 1. Выявление тенденции в рядах динамики Пример моментного ряда динамики (табл. 2). Таблица 2 Динамика поголовья скота в сельскохозяйственной организации, гол. 1. 01. 2008 г. 1. 01. 2009 г. 1. 01. 2010 г. 1. 01. 2011 г. 1. 01. 2012 г. 471 423 392 442 391

1. Выявление тенденции в рядах динамики Важной задачей анализа динамических рядов является выявление и 1. Выявление тенденции в рядах динамики Важной задачей анализа динамических рядов является выявление и анализ основной тенденции развития явлений. Тенденция или тренд - это общее направление к росту или снижению уровня явления с течением времени. Статистикой разработаны ряд методов, позволяющих выявить основную тенденцию изменения уровней ряда динамики: • метод укрупнения интервалов; • метод скользящей средней; • аналитическое выравнивание.

1. Выявление тенденции в рядах динамики Наиболее совершенным и распространённым методом является аналитическое выравнивание. 1. Выявление тенденции в рядах динамики Наиболее совершенным и распространённым методом является аналитическое выравнивание. Аналитическое выравнивание ряда динамики заключается в нахождении уравнения кривой, которая наиболее точно отражает основную тенденцию развития явлений во времени. При этом фактические уровни ряда заменяются теоретическими (выровненными) уровнями, вычисленными на основе выбранного уравнения.

1. Выявление тенденции в рядах динамики Этот способ основан на предположении, что изменения уровней 1. Выявление тенденции в рядах динамики Этот способ основан на предположении, что изменения уровней ряда динамики могут быть выражены с той или иной степенью приближения определёнными математическими функциями. Монотонное возрастание или убывание явления может быть выражено с помощью следующих функций: • линейной; • параболической; • степенной; • простой экспоненциальной (показательной); • гиперболой; • комбинацией этих видов; • с помощью ряда Фурье.

1. Выявление тенденции в рядах динамики Аналитическое выравнивание производится в несколько этапов: 1. Выбор 1. Выявление тенденции в рядах динамики Аналитическое выравнивание производится в несколько этапов: 1. Выбор аппроксимирующей функции: 2. Расчёт параметров уравнения тренда; 3. Вычисление выровненных (теоретических) уровней ряда динамики; 4. Определение надёжности и значимости уравнения тренда; 5. Определение точечных и интервальных прогнозных значений показателя.

1. Выявление тенденции в рядах динамики Первым этапом при аналитическом выравнивании ряда динамики является 1. Выявление тенденции в рядах динамики Первым этапом при аналитическом выравнивании ряда динамики является выбор аппроксимирующей функции, наиболее близко отражающей тренд. Для выбора вида функции используется ряд приёмов: • графический; • анализ цепных показателей динамики; • расчёт стандартной ошибки уравнений.

1. Выявление тенденции в рядах динамики Сущность графического способа заключается в том, что выбор 1. Выявление тенденции в рядах динамики Сущность графического способа заключается в том, что выбор вида функции, отображающей тренд, осуществляется на основе анализа графического изображения ряда динамики. По исходным данным строят график динамики, вид которого позволяет определить форму тренда. При резких колебаниях уровней ряда предварительно производят сглаживание ряда по скользящей средней и строят график по скользящим средним.

1. Выявление тенденции в рядах динамики • Выбор вида кривой путём анализа цепных показателей 1. Выявление тенденции в рядах динамики • Выбор вида кривой путём анализа цепных показателей динамики ведётся следующим образом. Рассчитывают цепные абсолютные приросты, коэффициенты роста и темпы прироста. Если цепные абсолютные приросты стабильны, то есть явление изменяется с постоянной абсолютной скоростью, то в качестве формы тренда принимается прямая линия (линейная функция):

1. Выявление тенденции в рядах динамики Если цепные абсолютные приросты равномерно увеличиваются или уменьшаются, 1. Выявление тенденции в рядах динамики Если цепные абсолютные приросты равномерно увеличиваются или уменьшаются, то-есть уровни ряда динамики изменяются с равномерно возрастающей или убывающей абсолютной скоростью, то аппроксимирующей функцией будет парабола второго порядка: где yt- выровненные (теоретические) уровни ряда динамики; a 0 , a 1, a 2 - параметры уравнения; t - номер уровня.

1. Выявление тенденции в рядах динамики Третий способ заключается в том, что рассчитываются параметры 1. Выявление тенденции в рядах динамики Третий способ заключается в том, что рассчитываются параметры уравнений разных видов. Затем исчисляется для каждого уравнения стандартная ошибка. Выбирается тот тренд, для которого стандартная ошибка наименьшая.

1. Выявление тенденции в рядах динамики • Второй этап. После выбора вида кривой вычисляются 1. Выявление тенденции в рядах динамики • Второй этап. После выбора вида кривой вычисляются её параметры. Параметры уравнения находятся методом наименьших квадратов. Он позволяет из множества кривых данного вида выбрать ту, которая даёт выровненные уровни с наибольшим приближением к фактическим. Наилучшим приближением считается такое, при котором сумма квадратов отклонений выровненных уровней от фактических минимальна. Это условие можно записать так:

1. Выявление тенденции в рядах динамики Параметры уравнения кривой, удовлетворяющие этому условию, могут быть 1. Выявление тенденции в рядах динамики Параметры уравнения кривой, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены путём решения системы нормальных уравнений. Для уравнения прямой : решается следующая система уравнений:

1. Выявление тенденции в рядах динамики Для параболы второго порядка Решается следующая cистема уравнений 1. Выявление тенденции в рядах динамики Для параболы второго порядка Решается следующая cистема уравнений :

1. Выявление тенденции в рядах динамики • Расчет параметров упрощается, если номера уровней (t) 1. Выявление тенденции в рядах динамики • Расчет параметров упрощается, если номера уровней (t) подобрать так, чтобы их сумма была равна 0 (). Тогда для расчёта параметров уравнения прямой система уравнений примет вид: Отсюда:

1. Выявление тенденции в рядах динамики • При исчислении параметров уравнения параболы второго порядка 1. Выявление тенденции в рядах динамики • При исчислении параметров уравнения параболы второго порядка система уравнений будет иметь вид (при t=0):

1. Выявление тенденции в рядах динамики • Чтобы t оказалась равной 0, в рядах 1. Выявление тенденции в рядах динамики • Чтобы t оказалась равной 0, в рядах с нечетным числом уровней номер центрального уровня принимается равным нулю, а уровни, идущие от центрального вверх и вниз, получают номера 1, 2, 3 и так далее со знаками минус и плюс соответственно. При чётном числе уровней два центральных получают номера – 1 и +1, остальные 3, 5, 7 и так далее со знаками минус и плюс.

1. Выявление тенденции в рядах динамики Показательная кривая путём логарифмирования приводится к линейному виду: 1. Выявление тенденции в рядах динамики Показательная кривая путём логарифмирования приводится к линейному виду: Вводя новые обозначения , , получим уравнение: , которое решается с помощью системы нормальных уравнений для линейной функции.

1. Выявление тенденции в рядах динамики На основе найденного уравнения кривой вычисляются выровненные уровни, 1. Выявление тенденции в рядах динамики На основе найденного уравнения кривой вычисляются выровненные уровни, и строится график. Значения параметров уравнений. В уравнении прямой параметр а 1 есть средний абсолютный прирост. В параболе второго порядка параметр а 1 показывает среднюю скорость изменения уровня, а параметр а 2 - её ускорение или замедление. В показательной кривой - а 1 - средний темп роста.

1. Выявление тенденции в рядах динамики Пример. Необходимо произвести аналитическое выравнивание ряда динамики урожайности 1. Выявление тенденции в рядах динамики Пример. Необходимо произвести аналитическое выравнивание ряда динамики урожайности зерновых культур по данным табл. 3.

Таблица 3 Урожайность зерновых культур на сельскохозяйственном предприятии, ц/га 2008 г. 2009 г. 2010 Таблица 3 Урожайность зерновых культур на сельскохозяйственном предприятии, ц/га 2008 г. 2009 г. 2010 г. 2011 г. 2012 г. 2013 г. 21, 1 7, 4 4, 2 11, 6 21, 8 15, 5

1. Выявление тенденции в рядах динамики Возьмем в качестве аппроксимирующей функции уравнение прямой: Для 1. Выявление тенденции в рядах динамики Возьмем в качестве аппроксимирующей функции уравнение прямой: Для вычисления параметров вспомогательную таблицу 4. уравнения составим

Таблица 4 Исходные и расчетные данные для вычисления параметров уравнения прямой Годы Урожай ность, Таблица 4 Исходные и расчетные данные для вычисления параметров уравнения прямой Годы Урожай ность, ц/га у t 2008 21, 1 1 2009 7, 4 2010 t 2 ty yt 1 21. 1 12, 03 2 4 14. 8 12, 66 4, 2 3 9 12. 6 13, 29 2011 11, 6 4 16 46. 4 13, 92 2012 21, 8 5 25 109. 0 14, 55 2013 15, 5 6 36 93, 0 15, 18 Итого 81, 6 21 91 296, 9 81, 63

1. Выявление тенденции в рядах динамики Подставим данные из таблицы в систему уравнений: Разделим 1. Выявление тенденции в рядах динамики Подставим данные из таблицы в систему уравнений: Разделим оба уравнения на коэффициенты при а 0 – соответственно на 6 и 21 и вычтем первое из второго: а 0 + 3, 5 а 1=13, 6 а 0 + 4, 3 а 1=14, 1 0, 8 а 1=0, 5

1. Выявление тенденции в рядах динамики Подставим а 1=0, 63 в первое уравнение и 1. Выявление тенденции в рядах динамики Подставим а 1=0, 63 в первое уравнение и найдем а 0: а 0+3, 5*0, 63=13, 6 а 0=11, 4 Таким образом, уравнение прямой для данного случая примет вид: yt=11. 4 + 0. 63 t

1. Выявление тенденции в рядах динамики • Параметр а 1=0, 63 есть среднегодовой абсолютный 1. Выявление тенденции в рядах динамики • Параметр а 1=0, 63 есть среднегодовой абсолютный прирост. Он показывает, что урожайность зерновых культур имеет тенденцию к росту в анализируемом периоде, ежегодно она повышалась на 0, 63 ц/га.

1. Выявление тенденции в рядах динамики Подставляя в найденное уравнение значения t, получим выровненные 1. Выявление тенденции в рядах динамики Подставляя в найденное уравнение значения t, получим выровненные (теоретические) уровни: 2008 г. у1=11, 4+0, 63*1=12, 03 2009 г. у2=11, 4+0, 63*2=12, 66 2010 г. у3=11, 4+0, 63*3=13, 29 2011 г. у4=11, 4+0, 63*4=13, 92 2012 г. у5=11, 4+0, 63*5=14, 55 2013 г. у6=11, 4+0, 63*6=15, 18

Построим график фактических и выровненных уровней ряда динамики. Рис. 1. Фактические и выровненные уровни Построим график фактических и выровненных уровней ряда динамики. Рис. 1. Фактические и выровненные уровни урожайности зерновых культур

1. Выявление тенденции в рядах динамики • Рассчитаем стандартную ошибку уравнения: Относительная ошибка уравнения: 1. Выявление тенденции в рядах динамики • Рассчитаем стандартную ошибку уравнения: Относительная ошибка уравнения:

1. Выявление тенденции в рядах динамики Большая ошибка уравнения свидетельствует о неадекватности принятой математической 1. Выявление тенденции в рядах динамики Большая ошибка уравнения свидетельствует о неадекватности принятой математической модели развития явления в динамике. Приемлемой ошибкой считается величина меньше 12%.

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Изучение закономерностей развития социальноэкономических явлений 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Изучение закономерностей развития социальноэкономических явлений во времени, выравнивание рядов динамики используются для прогнозирования. • Прогнозирование это определение ориентировочных размеров явления в будущем. Прогнозирование на основе рядов динамики опирается на экстраполяцию, то есть распространение выявленной закономерности на другие периоды времени. Прогноз с помощью экстраполяции основывается на инерционности социальноэкономических явлений, их способности сохранять закономерность изменений на определённом отрезке времени в будущем.

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей Прогнозирование на основе аналитического выравнивания заключается 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей Прогнозирование на основе аналитического выравнивания заключается в следующем. В найденное уравнение тренда подставляются значения t за пределами анализируемого динамического ряда. Получаемые теоретические уровни и будут прогнозными уровнями явления.

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Технически экстраполяция представляет собой продление 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Технически экстраполяция представляет собой продление рядов динамики. Наиболее часто для прогнозирования используется аналитическое выражение тренда. Подставляя в найденное уравнение значения t за пределами исследуемого ряда динамики, можно рассчитать уровни для будущего периода.

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей Так как в базисном периоде уровни 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей Так как в базисном периоде уровни колеблются, то и в будущем периоде вероятны колебания. Фактический уровень в будущем может не совпадать с экстраполируемым. Поэтому иногда даётся не точечная оценка прогнозируемого уровня, а интервальная: уt t yt, где уt– прогнозный точечный уровень; t – критерий Стьюдента; σyt- средняя квадратическая ошибка уравнения.

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Произведём выравнивание ряда динамики с 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Произведём выравнивание ряда динамики с помощью ряда Фурье. Выравнивание с помощью ряда Фурье производится в тех случаях, когда в ряду динамики наблюдается периодичность изменения уровней. При этом уровни можно выразить как функцию времени следующим уравнением:

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • В таблице 6 приведены значения 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • В таблице 6 приведены значения и для n=12 (k=1 и k=2), которые необходимы для определения параметров трендов Фурье. Параметры для первой гармоники вычисляются по формулам:

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Периодические колебания уровней динамического ряда 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Периодические колебания уровней динамического ряда можно представить в виде синусоидальных колебаний. Так как последние представляют собой гармонические колебания, то синусоиды, полученные при выравнивании по ряду Фурье, называют гармониками различных порядков. Показатель k в уравнении определяет число гармоник. При выравнивании по ряду Фурье рассчитывают несколько гармоник и затем определяют, с каким числом гармоник ряд Фурье наилучшим образом отражает изменения уровней ряда.

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Подставляя в приведенные выше формулы 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Подставляя в приведенные выше формулы данные из таблицы 7, найдем необходимые параметры: Отсюда уравнение первой гармоники будет иметь вид:

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Определим уравнение второй гармоники: Рассчитаем 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Определим уравнение второй гармоники: Рассчитаем параметры : Уравнение второй гармоники И

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Вычислим точечный прогнозный уровень урожайности 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Вычислим точечный прогнозный уровень урожайности по уравнению второй гармоники:

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей Например, при n=6 временные точки можно 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей Например, при n=6 временные точки можно записать следующим образом: или (после сокращения)

Таблица 6 Значения sin kt и cos kt (для n=12) t cos 2 t Таблица 6 Значения sin kt и cos kt (для n=12) t cos 2 t sin 2 t 0 1 1 0 0 π/6 0. 866 0. 5 0. 866 π/3 0. 5 -0. 5 0. 866 π/2 0 -1 1 0 2 π/3 -0. 5 0. 866 -0. 866 5 π/6 -0. 866 0. 5 -0. 866 π -1 1 0 0 7 π/6 -0. 866 0. 5 -0. 5 0. 866 4 π/3 -0. 5 -0. 866 3 π/2 0 -1 -1 0 5 π/3 0. 5 -0. 866 11 π/6 0. 866 0. 5 -0. 866

Год У t y cos y sin t t рожайн ость, ц/га y 1 Год У t y cos y sin t t рожайн ость, ц/га y 1 yt y cos 2 t y sin 2 t 2 yt 2008 21, 1 0 16, 25 21, 1 0 19, 0 2009 7, 4 π/3 3, 7 6, 41 8, 50 -3, 7 6, 41 9, 49 2010 4, 2 2π/3 -2, 1 3, 64 5, 85 -2, 1 -3, 64 2, 15 2 011 11, 6 π -11, 6 0 10, 95 11, 6 0 13, 70 2012 21, 8 4π/3 -10, 9 18, 88 18, 70 -10, 9 18, 88 18, 69 2013 15, 5 5π/3 7, 75 13, 42 21, 35 -7, 75 13, 42 17, 61 Σ 81, 6 x 7, 95 22, 25 81, 6 8, 25 8, 23 80, 64

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Найдем в таблице 6 значения 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Найдем в таблице 6 значения cost, sint, cos 2 t, sin 2 t. Вычислим теоретические уровни путем их подстановки в данное уравнение. Внесем теоретические уровни в последнюю графу таблицы 7.

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Вычислим прогнозный интервал: С вероятностью 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Вычислим прогнозный интервал: С вероятностью 0, 95 можно утверждать, что урожайность зерновых в 2014 г. будет находиться в интервале от 7, 9 до 29, 9 ц/га.

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Рассчитаем сумму квадратов отклонений теоретических 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Рассчитаем сумму квадратов отклонений теоретических уровней, рассчитанных по первой и второй гармоникам, от эмпирических уровней.

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей Как видим, сумма квадратов отклонений теоретических 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей Как видим, сумма квадратов отклонений теоретических уровней, рассчитанных по второй гармонике, от эмпирических уровней меньше, чем вычисленных по первой гармонике. Таким образом, данное уравнение точнее отражает динамику урожайности, чем уравнение первой гармоники.

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • При k=1 ряд Фурье будет 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • При k=1 ряд Фурье будет иметь вид: при k=2

Таблица 6 Значения sin kt и cos kt (для n=12) t cos 2 t Таблица 6 Значения sin kt и cos kt (для n=12) t cos 2 t sin 2 t 0 1 1 0 0 π/6 0. 866 0. 5 0. 866 π/3 0. 5 -0. 5 0. 866 π/2 0 -1 1 0 2 π/3 -0. 5 0. 866 -0. 866 5 π/6 -0. 866 0. 5 -0. 866 π -1 1 0 0 7 π/6 -0. 866 0. 5 -0. 5 0. 866 4 π/3 -0. 5 -0. 866 3 π/2 0 -1 -1 0 5 π/3 0. 5 -0. 866 11 π/6 0. 866 0. 5 -0. 866

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Рассчитаем ошибку уравнения второй гармоники: 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Рассчитаем ошибку уравнения второй гармоники:

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей При прогнозировании возникают две главные проблемы: 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей При прогнозировании возникают две главные проблемы: 1)какой длины взять период, по которому находить закономерность развития явления (базисный период). Короткий период может не выявить закономерности (тенденции). При длинном периоде можно получить уровни ряда для разных условий; 2)какова должна быть длина прогнозируемого периода. Расчет уровней на длительный период может привести к большим ошибкам. Чем короче срок экстраполяции, тем надежнее и точнее результаты прогноза.

2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Для вычисления параметров ряда Фурье 2. Экстраполяция и прогнозирование на основе трендовых моделей • Для вычисления параметров ряда Фурье используются следующие формулы: