Лекция Линейные дифференциальные уравнения 1- го порядка Линейные

Лекция Линейные дифференциальные уравнения 1- го порядка

Линейные уравнения первого порядка Определение Линейное дифференциальное уравнение первого порядка - ДУ 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции y и ее производной y .  В общем случае линейное уравнение 1-го порядка можно записать в виде y  + p(x)  y = f(x) , где p(x) , f(x) – заданные непрерывные функции. Определение Если f(x) ≡ 0 , то линейное уравнение y  + p(x)  y = 0 называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Линейное однородное уравнение y  + p(x)  y = 0 является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение:

Пример

Пример

Пример

Метод вариации постоянной (метод Лагранжа) y  + p(x)  y = f(x) 1)Интегрируем однородное уравнение y  + p(x)  y = 0, Соответствующее данному неоднородному уравнению. Его общее решение имеет вид : 2) Полагаем, что решение неоднородного уравнения Функцию C(x) найдем, подставив y и y  в исходное неоднородное уравнение .

Получим: Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид: Замечания. Раскроем скобки первое слагаемое– общее решение линейного однородного уравнения, второе – частное решение линейного неоднородного уравнения (получается из общего решения при C = 0).

Уравнения в полных дифференциалах Определение Уравнение M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x , y) , т.е. если M(x , y)dx + N(x , y)dy = du(x , y) . Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах имеет вид u(x , y) = C .  Задачи: 1) научиться определять, когда выражение M(x , y)dx + N(x , y)dy является полным дифференциалом; 2) научиться находить функцию u(x , y), зная ее полный дифференциал.

ТЕОРЕМА Пусть функции M(x , y) , N(x , y) определены и непрерывны в области D и имеют в ней непрерывные частные производные Для того чтобы выражение M(x , y)dx + N(x , y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции u(x , y) , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось условие

Способы нахождения функции u(x , y): 1) используя одну из следующих формул: где (x0 ,y0) – любая точка области D непрерывности функций M(x , y), N(x , y).

Метод интегрируемых комбинаций. Суть метода интегрируемых комбинаций: выделить в M(x , y)dx + N(x , y)dy выражения, являющиеся дифференциалами известных функций («интегрируемые комбинации») и привести его таким образом к виду du(x , y) . ПРИМЕРЫ интегрируемых комбинаций:

Интегрирующий множитель Определение Функция m(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0, если после его умножения на m(x,y) левая часть уравнения становится полным дифференциалом некоторой функции. Пусть функции M(x , y) , N(x , y) определены и непрерывны в области D плоскости xOy и имеют в ней непрерывные частные производные

ТЕОРЕМА (о существовании интегрирующего множителя вида m(x) или m(y)). Пусть 1) Если  = (x), то уравнение имеет интегрирующий множитель m(x), который является решением уравнения 2) Если  = (y), то уравнение имеет интегрирующий множитель m(y), который является решением уравнения

Уравнение Бернулли Определение Уравнение вида где . - любое вещественное число, называется уравнением Бернулли Замечание Будем считать, так как в этих случаях уравнение Бернулли вырождается в линейное отлично от нуля и единицы,

Уравнение Бернулли всегда может быть сведено к линейному уравнению заменой деля уравнение на Замечание Особым решением может быть лишь при Если частное решение, особое решение.

2) Решив получившееся после замены линейное уравнение методом Бернулли, получим: z = u(x)  v(x) , Таким образом, решение уравнения Бернулли можно сразу искать в виде произведения двух функций методом Бернулли, не приводя предварительно к линейному уравнению.

Дифференциальные уравнения высшего порядка Определение Сведение уравнение более высокого порядка к уравнению порядком ниже называется понижением порядка. Рассмотрим некоторые случаи, в которых данное дифференциальное уравнений высшего порядка может быть упрощено понижением его порядка.

Определение Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого. В общем случае ДУ высшего порядка имеет вид F(x, y , y  , y  , y  , … , y(n)) = 0 , где n > 1 . Замечание Функция F может и не зависеть от некоторых из аргументов x, y , y , … , y(n–1) . Определение ДУ высшего порядка, которое можно записать в виде: y(n) = f(x, y , y  , y  , … , y(n–1)) , называют уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной ДУ 1-го порядка, разрешенное относительно производной – уравнение, которое можно записать в виде y  = f(x,y). В общем случае ДУ 1-го порядка имеет вид: F(x, y, y ) = 0 . Если из уравнения F(x, y, y ) = 0 нельзя выразить y , то уравнение называют не разрешенным относительно производной.

Уравнения, разрешаемые относительно y  неоднозначно Пусть F(x, y, y ) = 0 таково, что его можно разрешить относительно y  неоднозначно. Т.е. уравнение F(x, y, y ) = 0 эквивалентно k различным уравнениям y  = f1(x,y) , y  = f2(x,y) , y  = f3(x,y) , … , y  = fk(x,y) . Предположим, что для каждого из уравнений найден общий интеграл: Φ1(x , y , C) = 0 , Φ2(x , y , C) = 0 , …., Φk(x , y , C) = 0 . Совокупность общих интегралов называется общим интегралом уравнения разрешаемого относительно y  неоднозначно.

Замечания Если уравнение F(x, y, y ) = 0 разрешается относительно y  неоднозначно, то через каждую точку M0(x0 ,y0) области, будет проходить в общем случае k интегральных кривых. Однако условие единственности для этой точки будет считаться нарушенным только в том случае, когда хотя бы две кривые в точке M0 будут иметь общую касательную.

ПРИМЕР Найти общий интеграл уравнения (y )2 – 4  x2 = 0. Найти решение, удовлетворяющее условию а) y(1) = 1 , б) y(0) = 0 .

ДУ порядка n имеет множество решений (интегралов). Чтобы выбрать одно из них, задают n условий, которым должно удовлетворять искомое решение. Обычно, задают значение искомой функции и всех ее производных до порядка n – 1 включительно при некотором значении аргумента x = x0 : y(x0)=y0 ,y (x0) =y01,y (x0)= y02 , …, y(n–1)(x0)=y0n–1 . Совокупность этих условий называется начальными условиями для дифференциального уравнения n-го порядка. Определение Нахождение решения уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям , называется решением задачи Коши для этого уравнения.

Замечание Единственность решения задачи Коши для уравнения n-го порядка (n > 1) НЕ ОЗНАЧАЕТ, что через данную точку M0(x0 ,y0) плоскости xOy проходит одна интегральная кривая y = (x). Кривых через точку M0 проходит множество, а единственность означает, что они различаются набором значений y  (x0) , y  (x0) , …, y(n–1)(x0) . Из теоремы 1  1) ДУ имеет множество решений. 2) Совокупность решений зависит от n произвольных постоянных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общим решением дифференциального уравнения y(n) = f(x, y, y  , y  , … , y(n–1)) в области D существования и единственности решения задачи Коши называется функция y = (x , C1 , C2 , … , Cn) , зависящая от x и n произвольных постоянных C1 , C2 , … , Cn , которая удовлетворяет следующим двум условиям: 1) при любых допустимых значениях C1 , C2 , … , Cn она удовлетворяет уравнению 2) каковы бы ни были начальные условия y(x0) = y0, y  (x0) = y01, y  (x0) = y02, … , y(n–1)(x0) = y0n– (где (x0,y0,y01,y02,…,y0n–1)D), можно найти единственный набор значений C1 = C01 , C2 = C02 , … , Cn = C0n такой, что функция y = (x , C01 , C02 , … , C0n) удовлетворяет заданным начальным условиям.

Уравнение Φ(x , y , C1 , C2 , … , Cn) = 0 , задающее общее решение в неявном виде, называется общим интегралом уравнения. С геометрической точки зрения общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых, зависящих от n параметров. Решение , в каждой точке которого выполняется условие единственности, называется частным. Любое решение , получающееся из общего решения (интеграла) при конкретных значениях постоянных Ci (включая Ci = ), является частным. Решение , в каждой точке которого нарушено условие единственности, называется особым. Особое решение, не входит в общее решение дифференциального уравнения.

ТЕОРЕМА (Коши). Пусть для уравнения y(n) = f(x, y , y  , y  , … , y(n–1)) выполняются два условия: 1) функция f(x, y , y  , y  , … , y(n–1)) непрерывна как функция (n + 1)-ой переменной x, y , y  , y  , … , y(n–1) 2) функция f(x, y , y  , y  , … , y(n–1)) имеет в этой области D ограниченные частные производные по переменным y , y  , y  , … , y(n–1) . Тогда для любой точки (x0 ,y0 ,y01 ,y02 , … , y0n–1)D существует, и притом единственное, решение y = (x), определенное в некотором интервале, содержащем точку x0 , и удовлетворяющее начальным условиям (x0) = y0 ,   (x0) = y01 ,   (x0) = y02 , … , (n–)(x0) = y0n–1 .

Дифференциальные уравнения 2 порядка

Дифференциальные уравнения n-го порядка - легко интегрируется в квадратурах. Решение уравнения находится кратным интегрированием. интегрируя , получим Простейшее дифференциальное уравнение n-го порядка – уравнение вида общее решение

Пример Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее краевым условиям: Решение общее решение частное решение

Дифференциальные уравнения , допускающие понижение порядка Уравнения, не содержащие искомой функции Функция - общее решение, особых решений нет.

Пример

Пример

Пример

Уравнения, не содержащие независимой переменной Обратимся к перевернутому уравнению Разделим на , интегрируя, получим общее решение Рассмотрим Если оно имеет решение вида то прямая решение, частное или особое

Уравнения, не содержащие искомой функции Пусть ДУ имеет вид F(x, y ) = 0 , Возможны 2 случая: 1) разрешимо относительно y  неоднозначно; 2)неразрешимо относительно y , но допускает параметрическое представление, т.е. может быть заменено двумя урав нениями вида x = (t) , y  = (t) . Тогда решения уравнения могут быть найдены в параметрическом виде. Имеем:  dy = y   dx , x = (t)  dx =    dt ,  dy = (t)     dt ,

Таким образом, интегральные кривые уравнения имеют параметрические уравнения: Замечания 1) Общий интеграл уравнения получается исключением параметра t из системы (если это возможно). 2) Если уравнение можно разрешить относительно x, т.е. записать в виде x = (y ) , то в качестве параметра удобно брать t = y  . Тогда общий интеграл уравнения

Пример

Уравнения, содержащее только производную Пусть ДУ имеет вид F(y ) = 0 . Тогда y  не должна зависеть от x и y, т.е. быть постоянной. Пусть y  = ki удовлетворяет уравнению F(y ) = 0. Тогда y = ki x + C ,  Общий интеграл уравнения будет иметь вид

Уравнение Лагранжа Уравнение F(x, y, y ) = 0 называется уравнением Лагранжа, если оно является линейным относительно x и y, т.е. имеет вид: F1(y )  x + F2(y )  y = G(y ) . Так как F2(y )  0 (иначе это будет неполное уравнение), то уравнение Лагранжа можно записать в виде y = x  (y ) + (y ) . Общее решение уравнения Лагранжа можно найти в параметрическом виде. Если (y ) ≢ y  , то общее решение уравнения будет иметь вид:

Уравнение Клеро Пусть в уравнении Лагранжа (y ) ≡ y  . В этом случае, уравнение называют уравнением Клеро.  Уравнение F(x, y, y ) = 0 называется уравнением Клеро, если оно может быть записано в виде y = x  y  + (y ) . Общее решение уравнения Клеро имеет вид: y = x  C + (C) . Кроме того, если  (t)  const , то уравнение Клеро имеет особое решение