Лекция Геометрические неравенства Преподаватель Мальцев Александр Михайлович

Лекция: «Геометрические неравенства» Преподаватель: Мальцев Александр Михайлович

План занятия 1. Простейшие неравенства Неравенство треугольника Ø Ø Ø 2. Теорема синусов Площадь Соотношения внутри треугольника Биссектриса Ø Ø Ø 3. Медиана Высота Геометрическая интерпретация Модуль Ø Ø Ø Координатный метод Метод масс 4. Вопросы. 5. Д/з

Неравенство треугольника Задача № 1 Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник. Доказать, что AB+CDAB+CD C B O A D

Неравенство треугольника Задача № 2 Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину? Решение: Докажем, что число сторон у такого многоугольника не больше 5. Предположим, что все диагонали многоугольника A 1. . . An имеют одинаковую длину и n>5. Тогда отрезки A 1 A 4, A 1 A 5, A 2 A 4 и A 2 A 5 имеют одинаковую длину, так как они являются диагоналями этого многоугольника. Но в выпуклом четырехугольнике A 1 A 2 A 4 A 5 отрезки A 1 A 5 и A 2 A 4 являются противоположными сторонами, a A 1 A 4 и A 2 A 5 — диагоналями. Поэтому A 1 A 5 + A 2 A 4 < A 1 A 4 + A 2 A 5. Получено противоречие. Ясно также, что правильный пятиугольник и квадрат удовлетворяют требуемому условию.

Неравенство треугольника Задача № 3 Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника. Доказать, что Решение: По неравенству треугольника: Складывая все неравенства, получаем требуемое неравенство.

Теорема синусов Задача № 4 Докажите, что если внутри треугольника ABC существует точка D, для которой AD = AB, то AB < AC. Решение: Пусть прямая BD пересекает сторону AC в точке M. Треугольник ABD — равнобедренный, BD — его основание. Поэтому угол ADB -- острый. Тогда угол ADM — тупой. Следовательно, AB = AD < AM < AC.

Площадь Задача № 5 Пусть a≤b≤c – длины сторон произвольного треугольника площадью 1. Доказать, что Решение: Откуда

Биссектриса Задача № 6 Доказать, что Решение: Пусть в треугольнике ABC точки H, D и K - основания соответственно высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из вершины B. Опишем около треугольника ABC окружность. Пусть Е - точка пересечения прямой BD с этой окружностью. Тогда Е - середина дуги AC. Поэтому прямая, проведенная через точку Е параллельно BH, перпендикулярна хорде AC и проходит через ее середину, т. е. точку K. Поскольку точки B и Е лежат по разные стороны от прямой AC, то точка D лежит между проекциями концов отрезка BP, т. е. между точками H и K.

Медиана Задача № 7 Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая медиана. Решение:

Высота Задача № 8 Пусть h 1, h 2, h 3 – высоты треугольника, r – радиус вписанной окружности. Докажите, что h 1 + h 2 + h 3 ≥ 9 r. Решение: Пусть a, b, c – стороны треугольника, соответствующие высотам h 1, h 2; S – площадь треугольника. Тогда S = ½ ah 1 = ½ (a + b + c)r. Поэтому h 1 = (1 + a/b + b/c)r. Аналогично h 2 = (1 + a/b + c/b)r, h 3 = (1 + a/c + b/c)r. Следовательно, h 1 + h 2 + h 3 = (3 + (b/a + a/b) + (c/a + a/c) + (c/b + b/c) ≥ (3 + 2 + 2)r = 9 r.

Интерпретации (модуль) Задача № 9 Решить неравенство. Решение: Рассмотрим координатную прямую Ох и точки А и В на ней. Неравенство сводится к поиску точки Х, сумма растояний от которой до концов отрезка АВ не превышает длины этого отрезка. Очевидно, что условию удовлетворяют все точки отрезка АВ. Ответ:

Интерпретации (длина отрезка) Задача № 10 Доказать, что для любых чисел a, b, c верно неравенство Решение: записано неравенство треугольника для точек (x, y), (a, b), (d, e)

Метод масс Задача № 11 Доказать неравенство Йенсена: Пусть f – функция, выпуклая на некотором интервале, x 1, x 2, …, xn – произвольные числа из этого интервала, а α 1, α 2, …, αn – произвольные положительные числа, сумма которых равна единице. Тогда:

Домашнее задание 1) Разобрать все задачи семинара 2) Решить 2 задачи из д/з. 3) Подготовить к теме «Функциональные уравнения» по одной задаче (условие).

Конец