Лекция Элементы классической статистики 1 Распределение средней энергии

Лекция. Элементы классической статистики 1. Распределение средней энергии молекул по степеням свободы. 2. Распределение молекул газа по скоростям при тепловом равновесии ( распределение Максвелла). 3. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

1. Распределение средней энергии молекул по степеням свободы. Число степеней свободы — число независимых переменных (координат), полностью опре деляющих положение системы в про странстве. Молекулу одно атомного газа(рис. а) рассматривают как материальную точку, которой припи сывают три степени свободы поступатель ного движения (i = 3). Молекула двухатомного газа (рис. б) кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения (i = 5). Трехатомная (рис. в) и многоатомная нелинейные молекулы имеют шесть степеней свобо ды — три поступательных и тривраща тельных(i = 6). Независимо от общего числа степеней свободы молекул три степени свободы всегда поступательные.

На каждую из молекул приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения ( εо ): <εi >=<εo>/3 = i/2 k. T Закон Больцмана о равномер ном распределении энергии по степеням свободы молекул Для статистической си стемы, находящейся в состоянии термо динамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетиче ская энергияk. Т/2, а на каждую коле бательную степень свободы — в среднем энергия k. T Колебательная степень обла дает вдвое большей энергией потому, что на нее приходится не только кинетиче ская энергия (как в случае поступатель ного и вращательного движений), но и потенциальная энергия, причем средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы.

2. Распределение молекул газа по скоростям при тепловом равновесии ( распределение Максвелла). В ре зультате многократных соударений ско рость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все на правления движения являются равно вероятными, т. е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул. Задача о распределении молекул по скоростям : Пусть в единице объема n молекул. Какая доля молекул имеет скорости от v 1 до v 1 + Δv? Наибольшее число молекул будут иметь какую-то среднюю скорость, а доля быстрых и медленных молекул не очень велика

Доля молекул , отнесенная к интервалу скорости Δv, т. е. , имеет вид Максвелл в 1859 г. теоретически на основании теории вероятности определил эту функцию. С тех пор она называется функцией распределения молекул по скоростям или законом Максвелла. где m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана. Средняя квадратичная скорость Средняя скорость – это сумма скоростей всех молекул, деленная на общее число всех молекул в единице объема.

Наиболее вероятная скорость – это скорость, вблизи которой на единичный интервал скоростей приходится наибольшее число молекул Сопоставляя все три скорости: 1) наиболее вероятную 2) среднюю 3) среднюю квадратичную наименьшей из них является наиболее вероятная, а наибольшей – средняя квадратичная. Относительное число быстрых и медленных молекул мало

При изменении температуры газа будут изменяться скорости движения всех молекул, а, следовательно, и наиболее вероятная скорость. Поэтому максимум кривой будет смещаться вправо при повышении температуры и влево при понижении температуры. Общая площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс (скоростей), таким образом, равна единице и не меняется при изменении температуры Поэтому высота максимума и меняется при изменении температуры

Кривые распределения молекул по скоростям начинаются в начале координат и приближаются к оси абсцисс при бесконечно больших скоростях. Слева от максимума кривые идут круче, чем справа. То, что кривая распределения начинается в начале координат, означает, что неподвижных молекул в газе нет. Из того, что кривая приближается к оси абсцисс при бесконечно больших скоростях, следует, что молекул с очень большими скоростями мало. Это легко объяснимо. Для того чтобы молекула могла приобрести при столкновениях очень большую скорость, ей необходимо получить подряд много таких столкновений, при которых она получает энергию, и ни одного столкновения, при котором она ее теряет. А такая ситуация маловероятна.

3. Барометрическая формула. Распределение Больцмана. Если атмосферное давление на высоте h равно р , то на высоте h+dh оно равно p+dp (при dh>0 dp<0, так как давление с высотой уменьшается). Разность давлений р и p+dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1 кв. м: где ρ — плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом интервале плотность газа можно считать постоянной). Значит, Зная уравнение состояния идеального газа p. V=(m/M) RT (m — масса газа, М — молярная масса газа), находим, что

Подставив это выражение в (1), получим С изменением высоты от h 1 до h 2 давление изменяется от р1 до р2 , т. е. или - барометрическая формула Так как высоты считаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то где р — давление на высоте h Распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. где n – концентрация молекул на высоте h, n 0 – то же, на высоте h=0. Если частицы находятся в состоянии хаотического теплового движения и имеют одинаковую массу и , то распределение Больцмана применимо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.