Лекция 999 09 11 2011 1 Сфера Пидэральда

Лекция 999 (09. 11. 2011) 1. Сфера Пидэральда. 2. Экспериментальные методы рентгеновской дифракции. Литература: 1. Ашкрофт и Мермин, "Физика Твердого Тела", том 1, Глава 6. 2. Ч. Чмиттель, “Введение в физику аморфного тела”

Сфера Эвальда: Еще одно замечательное геометрическое построение в k-пространстве, иллюстрирующее условия упругого рассеяния - волновой вектор "рассеивающейся" волны - волновой вектор "рассеянной" волны - вектор обратной решетки Условие рассеяния - сфера с радиусом должна проходить через узел обратной решетки (дополнительно к концу вектора ) О Если конец вектора не лежит на границе некоторой зоны Бриллюэна, то сфера не пересекается с узлами обратной решетки

Экспериментальные методы рентгеновской дифракции Как видно из построения Эвальда, при произвольно выбранных длине волны и направлении падения рентгеновского излучения относительно осей кристалла, в общем случае дифракционные максимумы отсутствуют. Для наблюдения дифракционных максимумов необходимо сканировать параметры эксперимента. 1. Метод Лауэ Ориентация кристалла - фиксирована, но рентгеновское излучение не монохроматично, например, содержит все длины волн от λ 1 до λ 2. В этом случае сфера Эвальда преобразуется в область, заключенную между двумя сферами, определяемыми векторами: и - единичный вектор в направлении падения

Метод Лауэ удобен, например, для определения ориентации кристаллов с известной структурой Недостаток - сложность интерпретации "лауэграмм" из-за наложения отражений различных порядков 2. Метод вращающегося (качающегося) кристалла Рентгеновское излучение монохроматично, а меняется угол падения. Обычно направление рентгеновского пучка фиксировано, а изменяется ориентация кристалла и, в некоторых случаях, детектора. В качестве детектора раньше использовали фотопленку, а сейчас сцинтилляционные счетчики, преобразующие интенсивность пучка рентгеновского излучения в электрический сигнал.

Итак, в методе вращающегося кристалла, образец поворачивают вокруг определенных фиксированных осей, регистрируя все Брэгговские максимумы, возникающие при повороте. При вращении кристалла его обратная решетка поворачивается на тот же самый угол. В результате, сфера Эвальда неподвижна в k-пространстве, а обратная решетка смещается относительно нее.

В наиболее "продвинутых" рентгеновских дифрактометрах (например, фирмы "Филипс") и образец и детектор могут вращаться (качаться) во всех направлениях по программе, задаваемой на компьютере. В результате можно составить "карту" Брэгговских отражений в обратном пространстве. Если известен тип структуры исследуемого кристалла, то по положению максимумов можно, например, определить параметры деформации кристалла, а по их ширинам оценить тип и плотность дефектов кристаллической решетки. Простой настольный дифрактометр источник образец монохроматор приемник

Геометрия Θ - 2Θ Образец и приемник вращаются синхронно, обеспечивая зеркальное отражение от выбранного семейства параллельных атомных плоскостей. Этот метод наиболее часто используется при диагностике многослойных гетероструктур

Дифракция рентгеновских лучей на многослойных гетероструктурах сверхрешетка Zn. Te/Cd. Se (все материалы имеют структуру цинковой обманки ) Образец выращен псевдоморфно на подложке In. As: In. As - 0. 1μm Cd 0. 8 Mg 0. 2 Se - 5*[4. 5 nm Zn. Te/4. 5 nm Cd. Se] - 20 nm Cd 0. 8 Mg 0. 2 Se Кривая качания, измеренная в "0" оси абсцисс - рефлекс (004) от геометрии Θ-2Θ для рефлекса (004)подложки In. As положительные углы - область отражений от слоев, сжатых вдоль оси роста и растянутых в плоскости (постоянная решетки меньше, чем у In. As) отрицательные углы - область отражений от слоев с постоянной решетки больше, чем у In. As) Видны: 1. рефлексы 1 -го порядка от объемных слоев In. As и Cd. Mg. Se 2. множественные рефлексы от периодической "надструктуры" Zn. Te/Cd. Se

Можно определить: 1. состав твердого раствора Cd. Mg. Se - по положению соответствующего пика в спектре, с учетом условия псевдоморфного роста, известных модулей упругости и известной зависимости постоянной решетки от состава; 2. период сверхрешетки Zn. Te/Cd. Se - по расстоянию между рефлексами соседних порядков сверхрешетки; 3. "среднюю" постоянную решетки сверхрешетки - по положению "0"-го рефлекса сверхрешетки. Это позволяет, зная постоянные решетки, вычислить толщины слоев Zn. Te и Cd. Se, составляющих сверхрешетку; 4. Оценить общую планарность и дефектность слоев - по ширинам пиков дифракции.

Далее до конца лекции материал факультативный Дифракция на решетке с базисом Условие дифракции для решетки Браве является необходимым, но не достаточным условием наблюдения максимума рассеянного излучения. Возможность наблюдения того или другого максимума (рефлекса) зависит от структуры кристалла (состава элементарной ячейки) Моноатомная решетка Пусть кристаллическая структура представляет собой моноатомную решетку с n-атомным базисом (например решетка типа алмаза). Атомы в элементарной ячейке будем рассматривать как идентичные рассеивающие центры, расположенные в точках d 1, . . , dn внутри ячейки. Рассмотрим рефлекс, соответствующий изменению волнового вектора (В - некоторый вектор обратной решетки). Разность фаз лучей, рассеянных в точках di и dj равна и амплитуды двух волн отличаются на множитель. Амплитуды волн, рассеянных в точках d 1, . . , dn, относятся друг к другу как n 0 n k 0 k k

Излучение, рассеянное всей элементарной ячейкой, является суперпозицией отдельных лучей, поэтому его амплитуда содержит множитель: - Геометрический структурный фактор Интенсивность брэгговского максимума пропорциональна квадрату абсолютной величины амплитуды и поэтому содержит множитель |SB|2. Величина SB показывает, в какой мере интерференция волн, рассеянных на идентичных ионах внутри базиса, уменьшает интенсивность максимума. Кроме геометрического структурного фактора существуют и другие факторы, влияющие на интенсивность брэгговских максимумов. Структурный фактор имеет особенное значение, если для определенных векторов обратной решетки он равен нулю, запрещая брэгговское рассеяние.

Пример: решетка типа алмаза Решетка Браве - гранецентрированная. Кристаллическая решетка две гранецентрированные решетки, смещенные на 1/4 диагонали куба. Удобный базис где а - сторона условной кубической ячейки, а x, y, z - единичные вектора вдоль главных осей куба Обратная решетка - объемноцентрированная кубическая со стороной условной кубической ячейки 4π/a. Основные вектора обратной решетки - Рассмотрим рефлекс для вектора обратной решетки удвоенное четное число нечетное число удвоенное нечетное число Запрещенные рефлексы - (002), (110), . . .

Полиатомная решетка Структурный фактор для базиса с химически разными ионами: fj - атомный форм-фактор, определяемый внутренней структурой иона в позиции dj В первом приближении атомный форм-фактор пропорционален фурье-образу от распределения электронного заряда ρj(r) в j-м ионе (e - заряд электрона): В кристалле с полиатомным базисом структурный фактор не обращается в ноль ни при каких В, за исключением случаев случайных совпадений.

Примеры 1. Дифракция рентгеновских лучей в KCl и KBr (Киттель, стр. 95) Решетка Браве - гранецентрированная кубическая. Базис - два разных атома, сдвинутых на 1/2 диагонали куба (решетка типа каменной соли) При условии равенства атомных формфакторов катионов и анионов рефлекс (111) в такой структуре запрещен. Ионы калия и хлор в KCl имеют равное количество электронов. Поэтому их атомные форм-факторы практически равны и рефлекс (111) в спектре дифракции отсутствует, в отличии от спектра KBr.

Контрольные вопросы 1. Условие рассеяния электромагнитной волны в кристалле в терминах сферы Эвальда? 2. Условия реализации метода Лауэ 3. Условия реализации метода вращающегося кристалла? 4. Геометрия Тета-2 Тета?

Задачи старые нерешенные 1. Определить 1 -ю зону Бриллюэна для гексагональной решетки Браве