Лекция 9 Введение в динамику системы Механической системой

Лекция 9 Введение в динамику системы Механической системой материальных точек (м. с. м. т. ) называется совокупность конечного или бесконечного числа м. т. , движения которых взаимосвязаны. Совокупность м. т. , между которыми нет никаких сил взаимодействия, механическую систему не образует. Система называется неизменяемой, если расстояние между двумя любыми ее точками во все время движения остается неизменным, в противном случае система изменяемая. Абсолютно твердое тело рассматривается как неизменяемая механическая система.

Классификация сил, действующих на систему Внешними называются силы, с которыми тела или м. т. не входящие в систему, действуют на точки данной м. с. Внутренними называются силы взаимодействия между точками данной системы. Обозначение: внешние силы (exterior) внутренние силы (interior)

Свойства внутренних сил Рассмотрим м. с. м. т. Выделим в ней две точки А и В По III закону Ньютона: В В общем случае: А h Геометрическая сумма всех О внутренних сил системы (главный вектор внутренних сил) равна нулю. , сл. Сумма моментов всех внутренних сил системы (главный момент внутренних сил) относительно любого центра или оси равна нулю.

Масса системы. Центр масс Движение системы зависит от ее массы. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек, образующих систему В однородном поле тяжести , поэтому положение центра тяжести и центра масс совпадают: - координаты центра масс системы

Или Точка С называется центром масс или центром инерции механической системы. Понятие о центре тяжести имеет смысл только для т. т. , находящегося в однородном поле тяжести. Понятие «центр масс» шире, оно имеет смысл для любой системы м. т. независимо от того действуют на эту систему внешние силы или нет. Положение центра масс не полностью характеризует распределение масс системы.

Моменты инерции z Если уменьшить h одновременно для каждого из шаров, то поh h ложение центра масс системы не изменится, но распределение масс станет другим и это O y скажется на движении системы: - увеличится. x Моментом инерции тела (системы) относительно оси (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний до этой оси

Осевой момент инерции при вращательном движении играет ту же роль, какую масса при поступательном движении, т. е. он является мерой инертности тела при вращательном движении. По определению Аналогично: ; Радиусом инерции называется расстояние от оси до той точки тела (системы), в которой нужно сосредоточить всю его массу так, чтобы момент инерции этой точки был равен осевому моменту инерции тела

Для а. т. т. , разбивая его на элементарные части, в пределе получим: ; ; Для однородных тел материала: ; , где ; - плотность

Теорема о моментах инерции тела относительно параллельных осей (теорема Штейнера – Гюйгенса) Момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями

z С O y ; x , ч. т. д.

Моменты инерции некоторых однородных тел z 1. Тонкий стержень С x dx dm x

2. Тонкое кольцо (полый цилиндр) y x O z 3. Круглая пластина (цилиндр) y x O z .

Дифференциальные уравнения движения системы Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Выделим k-ю точку системы с массой. Из основного закона динамики: , где , - равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на точку. Аналогично для остальных точек системы:

, , дифференциальные - уравнения движения системы Решение уравнений движения для а. т. т. представляет непреодолимые математические трудности, т. к. , во первых число точек бесконечно, а во-вторых неизвестны до конца внутренние силы взаимодействия между точками. Поэтому в ТМ разработаны методы решения задач с помощью общих теорем динамики. Рассмотрим их по очереди.