Лекция 9 Тема 10 Методы решения организационноуправленческих задач

Лекция 9 Тема 10. Методы решения организационноуправленческих задач в условиях конфликта.

Т Тема 10. Методы принятия решений в условиях конфликта. 10. 1. Методы принятия решений в условиях конфликта. Пример. 10. 2. Основные сведения из теории игр. Платежная матрица. Цена игры. Седловая точка. 10. 3. Решение матричной игры как задачи линейного программирования.

10. 1. Методы принятия решений в условиях конфликта Пример 1 В теории игр рассматриваются ситуации, связанные с принятием решений, в которых два разумных противника имеют конфликтующие цели. Эти ситуации принятия решений отличаются от рассмотренных ранее, где природа не рассматривается в роли недоброжелателя.

История теории игр • Математические модели принятия решений можно разбить два больших класса – оптимизационные и теоретико – игровые. • Оптимизационные модели базируются на классическом математическом анализе и имеют весьма почтенный возраст. • Теоретико – игровые модели начали исследоваться после выхода в 1944 г. монографии Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» .

Нобелевские лауреаты по экономике • 1994 г. Джон Харсаньи, Джон Нэш, Райнхард Зелтен «За анализ равновесия в теории некоалиционных игр» . • 2005 г. Роберт Ауманн, Томас Шеллинг «За углубление нашего понимания сути конфликта и сотрудничества путем анализа теории игр» . • 2012 г. Элвин Рот и Ллойд Шепли «За теорию устойчивого распределения и практику моделирования рынка» . В работе ученых речь идет о выборе наилучшего способа распределения ограниченного числа ресурсов между пользователями. Теоретической основой исследования является метод распределения выигрыша в теории кооперативных игр.

• Элвин Рот - профессор экономики и делового администрирования в Гарвардский университете, он также является специалистом по теории игр, который успешно применил математические алгоритмы для решения системных проблем, таких как распределение учащихся по школам в Нью-Йорке и сведение доноров почек с реципиентами. • Американский математик и экономист Ллойд Шепли - профессор Калифорнийского университета, один из крупнейших специалистов в теории игр.

10. 2 Основные сведения из теории игр • Игра – математическая модель конфликтной ситуации. • Игрок – один или группа участников игры, имеющих общие для них интересы, не совпадающие с интересами других групп. • Ход – регулярное действие, совершаемое игроком. • Стратегия – набор правил, которые однозначно указывают игроку, какой выбор он должен сделать при каждом ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в результате проведения игры.

• В зависимости от количества игроков определяют игры: двух игроков и n игроков. • Конечная игра – игра, в которой каждый игрок имеет конечное число возможных стратегий. • Игра с нулевой суммой – игра, в которой сумма выигрышей всех игроков в каждой ее партии равна нулю.

Платежная матрица • Каждый элемент платежной матрицы aij является выигрышем игрока А, определяемый использованием игроками стратегии Аi и Bj. Обычно считается, что у первого игрока m стратегий, а у второго игрока n стратегий. В этом случае платежная матрица имеет размер mxn.

Решение примера 1 (игра в чистых стратегиях)

Цена игры • Нижней ценой игры называется число , определяемое по формуле: (максимальный из минимальных элементов каждой строки платежной матрицы). Нижняя цена игры показывает какой минимальный выигрыш может гарантировать себе первый игрок, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях второго игрока.

• Верхней ценой игры называется число , определяемое по формуле: (минимальный из максимальных элементов каждого столбца платежной матрицы). Верхняя цена игры показывает, каким числом второй игрок может ограничить выигрыш первого игрока применением своих стратегий.

Седловая точка • Если в матричной игре нижняя и верхняя цены игры совпадают, т. е. = , то говорят, что эта игра имеет седловую точку и имеет решение в чистых стратегиях. Общее значение верхней и нижней цен игры называется ценой игры: = =. В нашей задаче это точка А 2 В 2 • В нашей задаче = =5%, Компания А выиграет 5% рынка. • Решить задачу в чистых стратегиях удается редко, поскольку не существует седловая точка. Тогда задачу решают в смешанных стратегиях.

Примеры 1 5 3 1 2 2 -1 4 2 1 2 2 0 0 3 -1 2 5 3

4 9 5 3 3 7 7 8 8 4 3 6 9 6 6 2 7 3 2 4 8 9 6 9

5 4 1 1 1 3 2 1 5 1 2 3 4 3 2 5 3 4 5

Доминирование и дублирование стратегий 2 3 5 2 3 4 7 6 3 5 6 4 3 4 7 6

Доминирование стратегий • При выборе своей стратегии из множества допустимых игрок сравнивает по предпочтительности исходы от их применения. Может возникать три типа результатов: • Стратегия Ak доминирует стратегию Am, если при любом поведении другого игрока использование стратегии Ak приводит к не худшему исходу, нежели использование Am. • Различают строгое доминирование, когда Ak дает больший выигрыш, чем Am, в любых условиях, Ak > Am • и слабое доминирование, если при некоторых действиях другого игрока Ak обеспечивает больший выигрыш, чем Am, а при других — одинаковый с ней. Ak ≥ Am

Платёжная матрица с доминируемыми и дублирующими стратегиями B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 A 1 1 2 3 4 4 7 A 2 7 6 5 4 4 8 A 3 1 8 2 3 3 6 A 4 8 2 3 2 2 5 Стратегия A 1 является слабо доминируемой по отношению к стратегии A 2, стратегия B 6 является доминируемой по отношению к стратегиям B 3, B 4 и B 5, а стратегия B 5 является дублирующей по отношению к стратегии B 4. Данные стратегии не будут выбраны игроками, так как являются заведомо проигрышными и удаление этих стратегий из платёжной матрицы не повлияет на определение нижней и верхней цены игры, описанной данной матрицей. • Множество недоминируемых стратегий, полученных после уменьшения размерности платёжной матрицы, называется ещё множеством Парето.

Выводы по теме 10: 1. Математические модели принятия решений можно разбить два больших класса – оптимизационные и теоретико – игровые. 2. Теоретико – игровые модели впервые предложенные Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном позволяют моделировать процессы, происходящие в условиях конфликта. 3. Теоретико-игровые модели часто сводятся к матричным играм, которые, в свою очередь сводятся к решению задач линейного программирования.