Лекция 9. Производные основных элементарных функций, сложных, обратных, функций, заданных неявно, параметрически. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Понятие функции, заданной параметрически. Определение. Пусть заданы уравнения: x=Φ(t) (2) , y=Ψ(t) где t T– промежутки, причём функция x = Φ ( t ) имеет обратную функцию x = Φ -1 ( x), тогда определена функция y = Ψ (Φ -1 ( x ) ) = =ɸ ( x ) – эта функция называется функцией , заданной параметрически уравнениями (2). 24
Пример. Пусть x = sin t , y = cos t t= arcsin x , т. к. на y= cos(arcsin x) y > cos(arcsin x) > 0 на , sin имеет обрыв ( …), т. к. . 25
Теорема (о производной функции, заданной параметрически). Пусть функция y = Ψ (Φ -1 ( x ) ) задана параметрически уравнениями x=Φ(t) , t T , причём функции Φ ( t ) y=Ψ(t) и Ψ ( t ) дифференцируемы в некоторой точке t 0 и Φ (t 0) ≠ 0. Тогда функция y = Ψ (Φ -1 ( x ) ) дифференцируема в точке x 0 и её производная может быть найдена по формуле: y x (x 0)= , т. е. 26
Доказательство Рассмотрим функцию y = Ψ (Φ -1 ( x ) ). Она является композицией двух функций. Её производная в точке x 0 : y x (x 0)= Ψt (t 0) t x (x 0) = = (*) Равенство (*) справедливо в силу теоремы о производной обратной функции. 27
Скачать презентацию Лекция 9 Производные основных элементарных функций сложных обратных
Лекция 9 Производные основных элементарных функций, сложных, обратных функций.ppt