Лекция 9 НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ 1 Два класса нелинейных

Лекция 9 НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ 1. Два класса нелинейных регрессий 2. Приведение нелинейных регрессий к линейным

Различают два класса нелинейных регрессий: 1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам; 2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примеры нелинейной регрессии полиномы разных степеней : у = а + bх + сх2 + , у = а + bх + сх2 +dx 3+ , равносторонняя гипербола : __________________ степенная — показательная — у = аbх ; экспоненциальная

Полином 2 -й степени

Оценка параметров нелинейной регрессии Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени у = а 0 + а 1 х + а 2 х2 + ε, заменяя переменную х1 = х2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии у = а 0 + а 1 х + а 2 х1 + ε, для оценки параметров которого можно использовать МНК.

Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу Заменив на z, получим линейное уравнение регрессии y = a + bz + e, оценка параметров которого может быть дана МНК.

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. Два типа регрессий: 1. Нелинейные модели внутренне линейные 2. Нелинейные модели внутренне нелинейные Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду. Если нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.

Пример: В эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция: y=axbe Данная модель нелинейна относительно оцениваемых пaраметров, ибо включает параметры а и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду: lnу = lnа + b • Inx + Ine. b – коэффициент эластичности….

Коэффициент элластичности Степенная функция используется довольно часто. Связано это с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование, т. е. он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%.

Если же модель представить в виде y=axb+e то она становится внутренне нелинейной, ибо ее невозможно превратить в линейный вид. Внутренне нелинейной будет и модель вида — у = а + bхc+ e ибо это уравнение не может быть преобразовано в уравнение, линейное по коэффициентам.

Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам, т. е. lnу, 1/у. Так, в степенной функции у = а • bx • , МНК применяется к преобразованному уравнению lnу = lnа + xlnb+ln ,

Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах. Соответственно, если в линейных моделях (включая нелинейные по переменным) минимизируется , то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, Вследствие этого, оценки параметров для линеаризуемых функций МНК оказываются несколько смещенными.

Обратная модель В обратной модели преобразовывается у, а именно: 1/y = z и z= a + bx +e. В результате обратная модель оказывается внутренне нелинейной и требование МНК выполняется не для фактических значений признака у, а для их обратных величин 1/у, а именно Соответственно но При использовании линеаризуемых функций, затрагивающих преобразования зависимой переменной y, следует особенно проверять наличие предпосылок МНК, чтобы они не нарушались при преобразовании.

Тесты

Тесты

Тесты

Тесты

Тесты

Примеры: