ЛЕКЦИЯ 9 МНОЖЕСТВА ПРОДОЛЖЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ И СЧЕТНЫЕ

ЛЕКЦИЯ 9 МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

БЕСКОНЕЧНЫЕ И СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА • Сравнение множеств по мощности – это сравнение множеств по количеству элементов, принадлежащих этим множествам. • Способы сравнения множеств: • 1. Пересчитать и сравнить количества элементов каждого множества;

• 2. установить между элементами взаимнооднозначное (бинарное) соответствие (каждому элементу множества X ставится в соответствие только один элемент множества Y и наоборот). • Если такое соответствие установлено, то количества элементов одинаково, мощности равномощны или эквивалентны, т. е. X Y. • Для бесконечных множеств пригоден только второй способ.

• Бесконечное множество – простейший пример – множество натуральных чисел. • Счетное множество – то, у которого элементы можно занумеровать в последовательность (в т. ч. бесконечную). • Чтобы доказать, что множество счетное, достаточно установить взаимнооднозначное соответствие его элементов с множеством натуральных чисел, т. е. задать способ нумерации элементов множества.

СВОЙСТВА СЧЕТНЫХ МНОЖЕСТВ • 1. Любое подмножество счетного множества конечно или счетно. • 2. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество. • 3. Объединение конечного или счетного числа счетных множеств есть счетное множество.

Покрытие и разбиение множеств • ОПРЕДЕЛЕНИЕ: • Если М – произвольное непустое множество, то его покрытие представляет собой совокупность непустых подмножества М, объединение которых равно М. Элементы семейства называются классами покрытия множества М.

• Для семейства множеств выполняются следующие условия: • 1. ( Х )(Х≠ ); • 2. ( Х )(Х М); • 3. Х = М. Х

ПРИМЕРЫ: • Задано следующее множество М – • М = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. • Для этого множества М классами покрытия будут множества, состоящие из простых чисел, четных чисел, делящихся на 3 и чисел, кратных 4. • Каждый класс покрытия обязательно является подмножеством множества М.

• Классы покрытия: • Х 1 = {1, 2, 3, 5, 7, 11}, • X 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, • X 3 = {3, 6, 9, 12}, • X 4 = {4, 8, 12}. • Класс покрытия называется максимальным, если он не является подмножеством никакого другого класса данного покрытия.

• В рассмотренном примере классы Х 1 Х 2 Х 3 являются максимальными. Класс Х 4 не является максимальным, так как Х 4 Х 2. • В случае, когда попарное пересечение всех классов покрытия является пустым множеством, получаем частный вид покрытия, называемый РАЗБИЕНИЕМ множества.

РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВ • Разбиением множества М называется семейство множеств, для которых выполняются следующие условия: • 1. ( Х )(Х≠ ); • 2. ( Х )(Х М); • 3. ( Х )( Y )(X≠Y X Y = ); • 4. Х = М. Х Элементы семейства называются классами разбиения.

ПРИМЕР • Пусть М = {X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6, X 7, X 8}. • Семейство 1 = {X 1, X 2, X 3} является разбиением множества М, если: • Х 1 = {х2}, Х 2 = {х1, х3, х4}, Х 3 = {х5, х6, х7, х8} • И семейство 2 = {Y 1, Y 2, Y 3, Y 4} также является разбиением множества М при • Y 1={х3}, Y 2={х7, х8}, Y 3={х1, х2, х4, х6}, Y 4={x 5}, так как для них выполняются все четыре оговоренных условия.

• Разбиение множества М называется поэлементным, если каждый класс разбиения является одноэлементным множеством. • Разбиение множества М называется целым, если оно содержит один класс разбиения, совпадающий с множеством М. • Поэлементное и целое разбиения называются ТРИВИАЛЬНЫМИ. • Остальные классы разбиения называются нетривиальными.