Лекция 9 Идеальное упругое тело Закон Гука Закон

Лекция 9 Идеальное упругое тело. Закон Гука. Закон Пуассона. Связь технических величин с коэффициентами Ламе. Закон Гука для анизотропного тела. Уравнения движения и равновесия в линейной теории упругости. Полная система уравнений линейной теории упругости. Уравнение теплопроводности для упругого тела. Термодинамические соотношения. Система УРС для термоупругого тела. Соотношения Дюамеля-Неймана. Полная система уравнений термоупругости. Примеры частных задач (самостоятельно) Квазистатические и динамические Автомодельное решение. задачи термоупругости. Теория несимметричной упругости 1

Закон Гука В технических расчетах деформацию стержня при растяжении определяют через относительное удлинение (Л 7) Идеальная упругость – однозначная зависимость между силами и вызванными этими силами перемещениями Для огромного большинства материалов закон упругости с большой точностью можно считать линейным Закон Гука (1) модуль упругости Закон упругости справедлив, пока напряжения не достигнут некоторого предела, называемого пределом упругости Для всех материалов, применяемых в технике (кроме резины и каучукообразных полимеров), модуль упругости весьма высок по сравнению с пределом упругости, поэтому величина упругой деформации невелика – не более 1 -2 % 2

В общем случае, кроме деформации в направлении растяжения будет происходить и сжатие в поперечном направлении (Л 7) Для изотропного материала величина ε’ одинакова для всех направлений в поперечном сечении (нет предпочтительного направления). Если деформация – упругая и подчиняется закону Гука, то оказывается, что отношение поперечной деформации к продольной – величина постоянная «Закон» Пуассона (2) коэффициент Пуассона Вязкая жидкость В трехмерном случае закон Гука для изотропного тела можно представить следующим образом (3) Упругое тело модуль сдвига …………. . 3

Учитывая связь из (3) найдем или (7) Связь между «константами» устанавливается далее. Обобщенный закон Гука для анизотропного тела: (8) тензор четвертого ранга 4

Просуммируем (3) по : По определению модуль всестороннего сжатия или объемный модуль Для одноосного растяжения из общей формулы (3) имеем A - по закону Гука B Из В находим: (4) (ввели второй коэффициент Ламе) Из А: (5) (первый коэффициент Ламе) Отсюда легко находим: (6) 5

Деформации в теории упругости Смещения и их градиенты на столько малы, что можно не делать различия между эйлеровым и лагранжевым представлениями. Напоминаю: тензор деформаций Лагранжа-Грина тензор деформаций Эйлера-Альманзи 6

Уравнение движения и равновесия: В линейной теории упругости малы: перемещения, скорости, деформации, Поэтому с точностью до слагаемых второго порядка малости получаем уравнения в виде: Динамические (9) задачи Если малы еще и ускорения: (10) Квазистатические 7 задачи

Полная система уравнений линейной теории упругости Физические соотношения (11) Соотношения Коши: (12) (13) В 15 уравнениях неизвестными являются шесть компонент тензора напряжений, шесть компонент тензора деформаций и три компоненты вектора перемещений, т. е. всего 15 неизвестных 8

При прямом решении задач используются все 15 уравнений. В некоторых частных задачах, не только для проверки решения, но и для его нахождения, оказываются удобными уравнения совместности деформаций, которые вытекают из геометрических уравнений (т. е. , являются их следствием). Иногда их называют уравнениями неразрывности. (14) Учебники: Н. И. Бузухов Основы теории упругости, пластичности и ползучести. О. И. Теребушко Основы теории упругости и пластичности. Кац. 9 Теория упругости

Уравнения Ламэ и уравнения Бельтрами Задачи теории упругости можно формулировать и решать в напряжениях и/или в перемещениях в зависимости от того, что в первую очередь требуется определить. 1. В первом случае за неизвестные величины принимаются напряжения. Тогда для нахождения 6 неизвестных функций координат нужно иметь шесть уравнений. Из уравнений равновесия эти величины непосредственно не определяются: трех уравнений оказывается недостаточно. И тогда используют уравнения неразрывности, записанные с помощью (11) через напряжения: (15) где Это и есть уравнения Бельтрами Входящие в общее решение произвольные функции 10 определяем из условий, заданных на поверхностях

Задачи теории упругости можно непосредственно решать в перемещениях. Для этого следует записать уравнения равновесия в перемещениях. Это можно сделать, выразив компоненты тензора напряжений из (11) и (12) через перемещения и подставив их в (13). Окончательные уравнения можно представить в виде Вывести дома (16) Это и есть уравнения Ламе в теории упругости. В векторном виде имеем 0= =0 Квазистатические задачи: не учитываются инерционные силы Аналогичным образом в перемещениях можно представить и краевые условия 11

Плоские статические задачи теории упругости Плоское напряженное состояние Если тонкая пластинка нагружена усилиями, приложенными на ее границе параллельно плоскости пластинки и равномерно распределенными по толщине (рис. 1), то компоненты напряжений на обеих поверхностях пластинки равны нулю, и можно предварительно предположить, что они равны нулю и внутри пластинки. Тогда напряженное состояние будет определяться только компонентами и называется плоским напряженным состоянием. Можно также предположить, что эти компоненты не зависят от z, т. е. не меняются по толщине пластинки, а являются функциями только x и y. Рис. 1 Тензор деформаций в этом случае можно представить в виде 12

Вся система уравнений в этом случае может быть представлена в виде (без учета массовых сил инерции) Покажите, откуда это следует (17) (18) (19) При решении задачи в перемещениях уравнений равновесия достаточно. Подставляя (18), (19) в (17), придем к уравнениям Ламе для плоского НС Получите эти равенства Это задача о плоском НС в перемещениях. 13

Из уравнений неразрывности деформаций остается одно (20) Для задачи в напряжениях представим (20) через напряжения с помощью (19) Дифференцируя первое уравнение (17) по x , а второе – по y, а затем складывая их, найдем В результате для плоской задачи в напряжениях имеем уравнения Это и есть задача о плоском напряженном состоянии в напряжениях 14

Плоская деформация Подобные упрощения возможны и в другом предельном случае, когда размер тела в направлении очень велик. Примером может быть длинное цилиндрическое или призматическое тело, нагруженное силами, которые перпендикулярны продольной оси тела и не меняются по его длине (см. рисунок). Предположим, что концевые сечения ограничены фиксированными гладкими абсолютно жесткими плоскостями, которые препятствуют перемещениям в продольном направлении. В этом случае можно считать, что все поперечные сечения находятся в одних и тех же условиях. Поскольку в каждом поперечном сечении условия одинаковы, достаточно рассмотреть тонкий слой между двумя сечениями, расстояние между которыми – единица. Компоненты вектора перемещений u и v являются функциями только x и y, но не зависят от продольной координаты z. Перемещения w=0 Если такое тело, нагружено силами, не меняющимися по всей длине, то и тензор напряжений имеет вид 15

Следовательно, в этом случае задача сводится к нахождению компонент тензора напряжений , и как функций координат x и y , а компонента тензора напряжений , а также отличные от нуля компоненты тензора деформаций, находятся из соотношений закона Гука: Это есть задача о плоской деформации Какие уравнения удобно использовать для решения этой задачи? 16

Уравнение энергии для идеальных сред эквивалентно или Невязкий газ (18) Теперь воспользуемся уравнением неразрывности: (19) или Это уравнение имеет место для газов, невязких жидкостей и твердых тел В адиабатических условиях: или (20) Эти уравнения тоже можно рассматривать 17 как уравнения энергии

В частном случае несжимаемой невязкой среды (газа, невязкой жидкости и твердого тела): (21) и Если среда (газ) – сжимаемая: (22) (из УРС (III)) или (23) В случае вязкой жидкости Навье-Стокса (находим аналогично): Несжимаемая жидкость (24) Сжимаемая жидкость (25) или 18

Идеальная жидкость с тепловым расширением Несжимаемая жидкость, но – плотность зависит от температуры. По-определению: Или: Это - модель несжимаемой жидкости в приближении Обербека. Буссинеска, в рамках которой во многих публикациях исследуется роль теплового расширения в гидродинамике Это приближение справедливо, если жидкость – однородна по составу и в 19 ней нет химических реакций, перепады температуры невелики.

Энергия деформаций Общая форма уравнения баланса внутренней энергии (1) Уравнение Гиббса: (2) В адиабатических условиях: или (3) (4) - плотность энергии деформации (на единицу объема) В случае малых деформаций Состояние, в котором энергия деформации равна нулю, можно выбрать произвольно. И так как напряжения должны обращаться в нуль вместе с деформациями, то простейшим видом выражения для энергии деформации является квадратичная форма: (5) - упругие модули 20

Эти модули являются адиабатическими: вместо (3) найдем адиабатические упругие модули Совершенно аналогично: (6) и найдем изотермические упругие модули 21

обобщение закона Гука на анизотропные среды Как перейти от (2) к термодинамической системе в целом? (2) Локальным аналогом изменения удельного объема будет величина, связанная с изменением диагональных компонент тензора деформаций Известно: девиатор Дома: покажите справедливость равенства Если - шаровые тензоры, то Домножив (8) на плотность и проинтегрировав по объему, получим (7) (8) 22

Примеры квазистатических задач теории упругости (самостоятельно) 1. Однородная деформация - нормальное к S напряжение S – площадь сечения Однородная деформация – все компоненты тензора деформаций одинаковы по всему объему, т. е. не зависят от координат В этом случае все компоненты тензора напряжений, кроме , отличны от нуля На торце единственная компонента вектора нормали, отличная от нуля, это можно записать граничное условие В результате все компоненты тензора деформаций, отличные от нуля, найдем из соотношения закона Гука 23

2. Определить модуль сдвига из опыта, принципиальная схема которого показана на рисунке единственная компонента тензора напряжений, отличная от нуля Смещение любой точки бруска происходит вдоль оси z; смещением вдоль других осей можно пренебречь. Из соотношений Коши находим: С другой стороны, из закона Гука находим: Из рисунка следует: 24

3. Определить деформацию шара под действием собственного веса Сила тяготения направлена противоположно радиус-вектору Если шар – изотропное тело, то задача становится симметричной и одномерной. Выбираем сферическую систему координат: В этих условиях остается единственное уравнение равновесия: Из общих соотношений для компонент тензора деформаций находим: Остальные компоненты тензора деформаций – равны нулю 25

(1) Подставляя напряжения, выраженные через перемещения, в уравнение равновесия и собирая подобные слагаемые, найдем или (2) Г. у. : (3) Общее решение уравнения (2): (4) (5) Постоянные интегрирования находим из г. у. Для того, чтобы воспользоваться вторым условием, этого нам нужно выразить напряжения через деформации из (1) 26

Находим: подставляем в (1) Используя условие (4), находим: В результате находим: (6) Следовательно, внутри шара существует недеформированная в радиальном направлении поверхность, где 27 Распределения компонент тензора напряжений находим с помощью закона Гука

4. Определить деформацию длинной полой цилиндрической трубы, заполненной газом или жидкостью с давлением p. Давление снаружи отсутствует, силой тяжести можно пренебречь. Здесь нам потребуется цилиндрическая система координат с осью z, направленной вдоль оси цилиндра. В соответствии с законом Паскаля, давление внутри трубы изотропно и действует во всех направлениях одинаково. Следовательно, деформация стенок трубы происходит только в радиальном направлении. Задача вновь становится одномерной. Уравнение равновесия в цилиндрической системе координат (1) Компоненты тензора деформаций Из соотношений Дюамеля. Неймана (2) (3) 28

Используя первые два соотношения (3), из (1), находим (4) Г. у. : Общее решение: (5) (6) (7) 29

Подставляя (7) в г. у. , приходим к системе уравнений: Далее последовательно находим: 30

5. Определить деформацию сплошного цилиндра, равномерно вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Силой тяжести пренебречь. Система координат - цилиндрическая На единицу массы цилиндра в точке с радиус-вектором r действует центробежная сила В соответствии с условиями, деформация цилиндра происходит только в направлении r и только под действием этой силы Уравнение равновесия: (1) (2) С 2=0. Чтобы найти С 1, поступаем аналогично предыдущему: определяем деформации, подставляем их в соотношение для напряжений, используем внешнее граничное условие, находим С 2, затем перемещения и т. д. 31

Волны напряжений в упругих телах Уравнения движения упругой среды (без учета объемных сил) (13, слайд 8) сохраняю свою силу при любой зависимости между напряжениями и деформациями. Для изотропной упругой среды имеет место закон Гука, с помощью которого получаются соотношения вида (слайд 9): Эти уравнения описывают распространение двух типов волн в среде. 32

1 Дифференцируем первое уравнение по x, второе – по y, третье – по z и складываем: Это – волновое уравнение, описывающее распространение объёмного возмущения со скоростью 2 С другой стороны, дифференцируя второе уравнение по z, а третье – y и вычитая одно из другого, получим: или вращение относительно оси Х. Аналогичные уравнения получаем для Следовательно, вихрь распространяется со скоростью Тензор поворота и вектор поворота (Л 3) 33

3 Если объемное изменение равно нулю, из уравнений движения получаем: Все эти уравнения также однотипны. 4 Если компоненты вектора перемещений удовлетворяют условиям: где - потенциальная функция, то вращения (повороты) равны нулю и Подставляем последнее в первое уравнение движения: Аналогично найдем еще два уравнения. Т. о. , внутри неограниченного твердого тела могут распространяться волны двух типов – волны расширения со скоростью и волны «искажения» или сдвига со скоростью 34

Еще раз термодинамика: Для изотропного тела выражение для энергии деформаций принимает вид При постоянстве энтропии и других компонент тензора деформаций Аналогично: Т. о. мы получаем адиабатические скорости волн: Самостоятельно запишите выражения для изотермических скоростей 35

Элементы термоупругости Уравнения Гиббса можно записать для единицы объема (звездочки опускаем) (1) (2) Как мы уже знаем, имеет место система УРС. Для термоупругого тела: (3) (4) Аналог изохорной теплоемкости Как и выше, (5) - изотермические упругие модули 36

найдем вместо (3), (4) адиабатические упругие модули Подчеркнутые красным слагаемы описывают один из самых известных перекрестных эффектов тензор коэффициентов термоупругости Имеем систему УРС для термоупругого тела (6) Если тело – изотропное, из последнего соотношения имеем: (7) 37

Система УРС в общем виде (8) Теория упругости Теория термоупругости (9) малые деформации Изотропное тело (10) Это – соотношения Дюамеля Неймана Это и есть определяющие соотношения линейной теории упругости 38

В общем случае требуется найти совместно распределение температуры, компонент тензоров напряжений и деформаций и компоненты вектора перемещений. Для этого нужно еще одно уравнение - уравнение теплопроводности (т. к. неизвестных величин стало на 1 больше) Воспользуемся системой УРС (8) (А) и уравнением энергии в форме (Б) (прошлая лекция) Из (А) следует: Для изотропного тела получим или Уравнения динамической теории термоупругости (11) + соотношения Коши и соотношения Дюамеля. Неймана 39

В случае малых деформаций плотность перестает быть искомой величиной: Уравнение неразрывности нам явно не требуется. Но плотность, а также коэффициент теплового расширения, механические модули – могут быть функциями температуры. связанные динамические Задачи термоупругости несвязанные квазистатические Задачи теплопроводности и «упругости» в квазистатической постановке в любом случае разделяются 40

Динамические задачи теории термоупругости: Квазистатические задачи теории термоупругости: Можем решить задачи о равновесии в общем виде, полагая, что поле температуры известно: Время в этом случае будет параметром. 41

6. Найти напряжения в полом цилиндре, вызванные неравномерностью его нагрева. Силой тяжести и внешним давлением пренебрегаем. - заданная функция Пренебрегая влиянием торцов, можно считать, что сечения трубы, перпендикулярные к ее оси, остаются плоскими и работают в одинаковых условиях, так что радиальные перемещения зависят только от радиуса, перемещения в направлении угла отсутствуют. (1) Относительное удлинение в направлении z пока неизвестно, но гипотеза плоских сечений позволяет считать, что Эта величина будет явно присутствовать во всех формулах и потребует определения на основе дополнительного условия. Уравнение равновесия – уже знакомо Г. у. : (2) (3) 42

Из соотношений Дюамеля-Неймана найдем или (4). Подставляя первые два соотношения (4) в уравнение равновесия (2), найдем (5) 43

Первый интеграл уравнения (5) есть (6) Последующее интегрирование дает (7) или (8) С помощью (7) из соотношений Дюамеля-Неймана находим: (9) Пока у нас три неизвестные постоянные, а условий 2. 44

Еще одним условием будет интегральное условие равновесия: (10) Это условие имеет место для цилиндра со свободными от нагрузки торцевыми поверхностями. Это условие означает, что труба не несет осевой нагрузки. Трех условий достаточно, чтобы найти неизвестные величины Из (9) и соотношений Дюамеля-Неймана (11) 45

Для осевых напряжений получаем формулу Воспользовавшись граничными условиями, найдем систему уравнений для определения постоянных A и B Следовательно: 46

-среднее значение приращения температуры в пределах поперечного сечения трубы Для того, чтобы найти осевую деформацию, постоянную для всех сечений трубы, имеем равенство В результате найдем: 47

Примеры динамических задач термоупругости Простейшая классическая нестационарная задача теории температурных напряжений формулируется как задача о тепловом ударе (1, а) (2) или Возможны иные варианты граничных условий (3) 48

Уравнение движения в деформациях (2, а) (1, б) Основные уравнения в перемещениях (2, б) (3) Линейные задачи термоупругости (1, с) Решения задач линейной теории хорошо исследованы. Эти решения представляют собой волны, быстро затухающие при удалении от нагреваемой поверхности Этим слагаемым во многих случаях можно пренебречь 49

Пример (задача о тепловом ударе, 1 я краевая задача) Используя те же уравнения, можем переписать уравнения в напряжениях: Коваленко А. Д. Термоупругость Решение несвязанной задачи удобно представить в виде: 50

В связанной нелинейной теории появляются решения типа бегущей волны (4) (5) Коэффициент связанности отличается от (3). (6) 51

Рассмотрим решения нелинейной системы уравнений, представляющие собой волны с постоянным профилем, движущиеся со скоростью . Перейдем к координате , полагая, что волна движется вправо. Тогда решение типа бегущей волны должно будет удовлетворять системе уравнений (7): (7) (8) «отбрасываем» производные по времени Система легко интегрируется: (9) Подставим первое уравнение (7) (10) При условии (11) уравнение (10) совпадает с уравнением Бюргерса, записанным в автомодельных 52 переменных

После введения этих обозначений придем к уравнению (13) (12) (13) есть автомодельная форма уравнения (14) (13) (14) Решения (13) вида (15) существуют при условии Это решение представляет собой слабую ударную волну Деформации, и напряжения во фронте волны также удовлетворяют уравнениям вида (13) решения уравнения (14) сходятся к ударно-волновым разрывным решениям уравнения (16) 53

Вариант теории несимметричной упругости Теория упругости основывается на идеализированной модели упругого континуума, в которой связь нагрузок между обеими сторонами поверхностного элемента описывается исключительно главным вектором. Это предположение приводит к симметричному напряженному и деформированному состояниям. В тех случаях, когда существенными становятся градиенты напряжений симметричная теория дает результаты, не согласующиеся с экспериментальными данными. Наиболее естественная общая теория несимметричной упругости была разработана братьями Коссера в 1909 г. Каждая частица континуума Коссера – это элементарное тело с шестью степенями свободы. Силовые факторы в такой среде – силы и моменты. Уравнения движения: - динамическая характеристика среды (мера инерции при вращении) - моментные напряжения - несимметричный тензор напряжений - вектор поворота - тензор Леви-Чевита 54

Тензор Леви-Чевита – антисимметричный тензор; если два индекса – одинаковые, . Если ijk - четная перестановка чисел, Если ijk - нечетная перестановка чисел, Например: Уравнение баланса энергии теперь имеет вид - несимметричный тензор деформаций - тензор изгиба-кручения. В этой модели свободная энергия является функцией независимых переменных Разложение свободной энергии в ряд Тейлора в окрестности естественного состояния можно представить в виде: 55

Используя соотношения найдем определяющие соотношения Поскольку изменение температуры может вызвать только деформацию, но не повороты, то В результате уравнение теплопроводности будет иметь прежний вид. (1) - постоянные Ламе - новые упругие постоянные зависит как от механических, так и от тепловых свойств 56

Используя материальные соотношения, уравнения движения можно представить в виде: (2) (3) В пяти уравнениях (1) – (3) пять неизвестных 57

Выражения для деформаций через перемещения: Декартова система координат Цилиндрическая система координат Сферическая система координат 58

Уравнения равновесия в цилиндрической системе координат Уравнения равновесия в сферической системе координат 59