Лекция 9 1 Производная интеграла по переменному верхнему

Лекция 9 1. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. При изменении верхнего предела величина интеграла будет изменяться, то есть интеграл можно рассматривать как функцию верхнего предела: называется интегралом с переменным верхним пределом.

Т Если непрерывна на [a, b], то Доказательство По определению производной

Рассмотрим приращение F(x) : ( По теореме о среднем )

Следствие: Всякая непрерывная на [a, b] имеет на этом отрезке первообразную : , или (т. к. первообразная определена с точностью до произвольной постоянной)

2. Формула Ньютона-Лейбница. Т Если непрерывна на [a, b], то

Доказательство: Раз функция f(x) непрерывна, то она имеет первообразную Положим

Следовательно, для вычисления определенного интеграла нужно: 1) Найти 2) вычислить

Примеры.

3. Т Замена переменной в определенном интеграле. Если непрерывна на , непрерывно дифференцируема на

то Доказательство. Пусть F(x) – первообразная для f(x), тогда

Примеры.

Интегралы от чётных и нечётных функций в симметричных пределах. чётная функция.

нечётная функция.

Интегрирование по частям в определенном интеграле. 4. Т Если имеют на [a, b] непрерывные производные, то

Доказательство

Пример.