Лекция 8 Тема Логические булевы функции

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Лекция № 8 Тема: Логические (булевы) функции

Учебные вопросы: 1. 2. 3. 4. Логические (булевы) функции от n переменных Суперпозиция функций Полные системы булевых функций Канонические формы логических формул

1. Логические функции Логической функцией называют функцию f(x 1, x 2, … xn ) аргументы которой x 1, x 2, … xn и сама функция принимают значения 0 или 1. Для n = 0 – (нульарные функции) существует 2 различные логические функции, значения: константы И и Л; n = 1 (унарные функции) существует 4 различных логических функций, значения: g 1(x)=Л; g 2(x)=¬x, g 3(x)=x, g 4(x)=И, n = 2 (бинарные функции) существует 16 различных логических функций; n = 3 существует 256 различных логических функций; n = 4 существует 65 536 различных логических функций и т. д.

Логические функции от двух переменных x y f 1 f 2 0 0 0 1 1 0 1 f 1(x, y)=0=g 1(0) f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 f 5(x, y)= (y x) f 2(x, y)=x & y f 6(x, y)=y=g 3(y) f 3(x, y)= (x y) f 7(x, y)=x y f 4(x, y)= x=g 3(x) f 8(x, y)=x y

Логические функции от двух переменных x y f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 f 16 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 f 9(x, y)= (x y) f 13(x, y)= x=g 2(x) f 10(x, y)= x ~ y f 14(x, y)= x y f 11(x, y)= y=g 2(y) f 15(x, y)= (x & y) f 12(x, y)= y x f 16(x, y)= 1=g 4(1) где (x y) = x y стрелка Пирса, функция Вебба, функция Даггера где (x & y) = x | y - штрих Шеффера

Способы представления логических функций Логические функции Аналитическое представление (формула) Табличное представление

2. Суперпозиция функций Результат вычисления булевой функции может быть использован в качестве одного из агрументов другой функции. Результат такой операции - суперпозиции можно рассматривать как новую булеву функцию со своей таблицей истинности. Пример1. Функции A B Л (суперпозиция строгой дизъюнкции и импликации) будет соответствовать следующая формула: f 14(f 7(g 3(а), g 3(в)), g 1(0))

Пример2. Функции (суперпозиция конъюнкции, дизъюнкции и двух отрицаний) будет соответствовать следующая формула: g 2(f 2(g 3(x), f 8(g 2(y), g 3(z)))) Пример3. Функции B (A B) (суперпозиция отрицания, дизъюнкции и эквиваленции) будет соответствовать следующая формула: f 10(g 3(в), f 9(g 3(а), g 3(в)))

Замкнутые классы функций Множество функций замкнуто относительно операции суперпозиции, если любая суперпозиция функций из данного множества тоже входит в это же множество. Замкнутые множества функций называют также замкнутыми классами: - класс М монотонные функции (функция монотонно не убывает по каждому из своих аргументов); - класс К 0 функции, сохраняющие нуль (функция от нуля даёт ноль); - класс К 1 функции, сохраняющие единицу (функция от единицы даёт единицу); - класс L линейные функции (функция представима многочленом, в котором каждый член состоит из одной переменной); - класс S самодвойственные функции (функции можно менять местами).

3. Полные системы булевых функций Система булевых функций {f 1, f 2, …, fn} называется полной, если произвольная булева функция может быть выражена через функции f 1, f 2, …, fn. Пример: полной является система функций { , &, }. Способы определения полноты системы: 1. Теорема о полноте Если даны две системы логических функций F 1 и F 2 и F 1 полна, то система F 2 полна тогда, когда каждая функция системы F 1 представима через функции F 2. 2. Критерий Поста-Яблонского Набор булевых функций тогда и только тогда является полным, когда он не содержится ни в одном из пяти классов ( «предполных» ): класс М, класс К 0, класс К 1, класс L, класс S.

Пример 3. Докажите, что функция штрих Шеффера является полной. а | в=¬(а & в) а | в = ¬а ¬в ¬а=? а в=? а & в=? а в f(а, в)= а | в 0 0 1 1 0

4. Канонические формы логических формул Формы логических (булевых) функций Нормальная форма, если булева функция выражена через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание переменных Совершенная форма, если функция записывается единственным образом

Классы логических функций Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) Совершенная полиномиальная нормальная форма (СПНФ)

Теоремы о классах логических функций Теорема 1. Пусть f(x 1 , x 2 , … xn ) – булева функция от n переменных, не равная тождественно 0. Тогда существует СДНФ, причем единственная, выражающая функцию f. Теорема 2. Пусть f(x 1 , x 2 , … xn ) – булева функция от n переменных, не равная тождественно 1. Тогда существует СКНФ, причем единственная, выражающая функцию f. Следствие. Если логическая функция представляет собой константу Л (на всех наборах 0), то для нее не существует СДНФ. Аналогично, если логическая функция представляет собой константу И (на всех наборах 1), то для нее не. существует СКНФ. Теорема 3. СДНФ, СКНФ и СПНФ одной и той же функции совпадают.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма Формулу называют элементарной конъюнкцией, если она является конъюнкцией одной или нескольких переменных, взятых с отрицанием или без отрицания. Примеры: x 1, ¬x 2, x 1& x 2, x 1 & x 3 & x 1 & ¬x 3 Алгоритм построения СДНФ 1. постройте таблицу истинности логической функции; 2. отметьте наборы переменных, на которых логическая функция истинна; 3. выпишите отмеченные наборы переменных, соединяя между собой операцией конъюнкции, а между наборами – дизъюнкцией. Причем, если переменная имеет ложное значение, то она берется с отрицанием, а если истинное значение, то без отрицания; 4. упростите полученную формулу.

Пример 1. Постройте формулу для функции f(x 1, x 2, x 3), заданной таблицей 0 0 x 3 0 f(x 1, x 2, 0 x 3) x 1 x 2 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 СДНФ: f(x 1, x 2, x 3)= x 1&x 2& x 3 x 1& x 2&x 3= = x 1&x 2& x 3 x 1& x 2& ( x 3) = = x 1&x 2& x 3 x 1& x 2

Совершенная конъюнктивная нормальная форма Формулу называют элементарной дизъюнкцией, если она является дизъюнкцией одной или нескольких переменных, взятых с отрицанием или без отрицания. Примеры: x 1, ¬x 2, x 1 x 3 x 1 ¬x 3 Алгоритм построения СКНФ 1. постройте таблицу истинности логической функции; 2. отметьте наборы переменных, на которых логическая функция ложна; 3. выпишите отмеченные наборы переменных, соединяя между собой операцией дизъюнкции, а между наборами – конъюнкцией. Причем, если переменная имеет ложное значение, то она берется без отрицания, а если истинное значение, то с отрицанием; 4. упростите полученную формулу.

Пример 2. Выразите функцию импликации с помощью операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции x 1 x 2 f(x 1, x 2)= x 1 x 2 0 0 1 1 1 0 1 СКНФ: f(x 1, x 2)= x 1 x 2

Литература: u u Н. Г. Колесников. Математические и логические основы информатики. Краснодар издат. Куб. АГУ. 2000 г. 224 с. Калбертсон Дж. Т. Математика и логика цифровых устройств. -М. : Прсвещение, 1965. -267 с. Кук Д. , Бейз Г. Компьютерная математика. – М. : Наука, 1990. Мальцев А. И. Алгебраические системы. – М. : Наука, 1970.

Скачать презентацию Лекция 8 Тема Логические булевы функции

3514-МЛОИ-Лк08.ppt

Количество слайдов: 19