Лекция 8 Поверхности в пространстве R 3 Цилиндрическая

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Цилиндрическая поверхность – это множество всех точек, лежащих на прямых (образующих), параллельных данной прямой (l) и пересекающих данную линию ( ) (направляющую) (рис. 20). Пусть образующая цилиндрической поверхности ( ) параллельна одной из осей координат прямоугольной системы Охуz, например, Oz. Ее направляющая ( ) ее лежит в плоскости Оху и описывается уравнениями Рис. 20

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Требуется составить уравнение этой цилиндрической поверхности. Точка , где ( l) – одна из образующих цилиндрической поверхности ( ), которая пересекает направляющую ( ) в точке. Т. к. точка N ( ), то. (8. 1) Точки М и N принадлежат одной и той же прямой (l), параллельной оси Oz, и, следовательно, . Подставив в равенство (8. 1) вместо х. N и y. N соответственно х и у, получим равенство F(x, y)=0, которое является уравнением цилиндрической поверхности ( ). Итак, F(x, y)=0 есть уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей, расположенной в плоскости Оху.

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Замечания. 1. Уравнение цилиндрической поверхности, подобной рассмотренной, совпадает с уравнением ее направляющей, расположенной в одной из координатных плоскостей прямоугольной системы Охуz. 2. Уравнение не содержит одной переменной, одноименной с осью, параллельной образующей цилиндрической поверхности. Например, - уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Oz (в уравнении отсутствует переменная z), с направляющей, расположенной в плоскости Оху и представляющей параболу с тем же самым уравнением (см. рис. 21). Рис. 21

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Поверхности второго порядка Общее уравнение поверхности 2 -го порядка имеет вид: где. Справедлива следующая теорема (дается без доказательства). Теорема. Общее уравнение поверхности 2 -го порядка с помощью симметрии относительно плоскости, поворота оси и параллельного переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к одному из следующих канонических уравнений:

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. 1. (a, b, c>0) – эллипсоид

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. 2. - однополостный гиперболоид

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. - двухполостный гиперболоид

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. 4. - коническая поверхность второго порядка

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. 5. (p, q>0) – эллиптический параболоид

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. 6. - гиперболический параболоид

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. 7. (a, b>0) – эллиптический цилиндр, 8. - гиперболический цилиндр,

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. 9. (p>0) – параболический цилиндр

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. 10. - пара пересекающихся плоскостей, 11. - параллельных плоскостей, 12. 13. - пара совпадающих плоскостей, - прямая х=у=0 (пара мнимых пересекающихся плоскостей), 14. 15. - точка 0 (0, 0, 0) (мнимый конус), - (мнимый эллипсоид),

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. 16. 17. - (мнимый эллиптический цилиндр), - (пара мнимых параллельных плоскостей). Указанное в теореме преобразование системы координат называется приведением к главным осям.

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Метод сечений Пересечение исследуемой поверхности с плоскостью дает плоскую кривую. Ряд таких пересечений (называемых сечениями) позволяет выяснить строение поверхности. 1. Эллипсоид. Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид: (a>0, b>0, c>0). Исследуем форму эллипсоида по его уравнению. Из уравнения видно, что эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, заключенную в параллелепипеде. Координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, оси координат – его осями симметрии (все оси эллипсоида вещественны, т. е. их эллипсоид пересекает), начало координат – центром симметрии эллипсоида.

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. А дальше исследуем форму эллипсоида по его сечениям плоскостями. Рассмотрим сечение эллипсоида координатной плоскостью Оху. В сечении получается линия: Эта линия представляет собой эллипс с полуосями a и b (рис. 22). Рис. 22

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Аналогично устанавливается сечение данного эллипсоида с плоскостью Oxz. - эллипс с полуосями a и с, и с плоскостью Оуz. - эллипс с полуосями b и с.

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Рассмотрим теперь сечение эллипсоида с плоскостями , параллельными плоскости Оху. Уравнения линий пересечения будут или

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Если положить , то уравнения запишутся в виде Отсюда видно, что полуоси и являются действительными числами лишь при и линия пересечения эллипсоида с плоскостью z=h представляет собой эллипс с полуосями и.

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. При эллипсоид и плоскость пересекаются в одной точке (вырожденный эллипс). Если |h|>c, то эллипсоид и плоскость не имеют общих точек (пересекаются по мнимому эллипсу). Аналогично находим, что в пересечении эллипсоида с плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz, получаются также эллипсы. Таким образом, эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, линиями пересечения которой с координатными плоскостями и им параллельными являются эллипсы. Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным. Если a=b=c, то эллипсоид превращается в сферу. Замечание. Эллипсоид может быть получен равномерным сжатием сферы относительно двух перпендикулярных его плоскостей симметрии.

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Гиперболоиды 2. Каноническое уравнение однополостного гиперболоида. , (a>0, b>0, c>0). Из уравнения видно, что координатные плоскости прямоугольной системы координат Охуz являются плоскостями симметрии, оси координат – осями симметрии (две оси – вещественные, одна - мнимая), начало координат – – центром симметрии однополостного гиперболоида (рис. 23). Рис. 23

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Исследуем форму этого гиперболоида по его сечениям координатными и параллельными им плоскостями. Линия пересечения гиперболоида с плоскостью Оху имеет уравнения:

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Эти уравнения определяют эллипс с полуосями а и b. Линиями пересечения данного гиперболоида с плоскостями z=h (h R), параллельными координатной плоскости Оху, будут эллипсы или с полуосями Полуоси и неограниченно увеличиваются с увеличением |h|.

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Линией пересечения данного гиперболоида с плоскостью Oxz будет гипербола с действительной полуосью Ox и мнимой осью Oz, а и с – полуоси гиперболы, с плоскостью Оуz - гипербола с полуосями b и с. Числа a, b, c называются полуосями однополостного гиперболоида.

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Каноническое уравнение двухполостного гиперболоида имеет вид: , (a>0, b>0, c>0). Из этого уравнения видно, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, оси координат – осями симметрии (одна ось – вещественная, две оси – – мнимые), а начало координат – – центром симметрии двухполостного гиперболоида (рис. 24). Рис. 24

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. В сечении данного гиперболоида с координатной плоскостью Оху получается мнимый эллипс: Это значит, что плоскость z=0 не пересекает гиперболоид.

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Линии пересечения данного гиперболоида с плоскостями z=h представляют собой эллипсы, уравнения которых имеют вид: или где . Полуоси и являются действительными числами лишь при Это означает, что в пространстве между плоскостями z=с и z= –с не содержится точек рассматриваемой поверхности. Эта поверхность состоит из двух полостей, расположенных так, как показано на рис. 24.

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Линией пересечения двухполостного гиперболоида с плоскостью Oxz будет гипербола с действительной полуосью с и мнимой полуосью а, с плоскостью Оуz - гипербола с действительной полуосью с и мнимой полуосью b. Числа a, b, c называются полуосями двухполостного гиперболоида.

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. 4. Каноническое уравнение конической поверхности 2 -го порядка имеет вид: (a>0, b>0, c>0). Аналогичные исследования (провести их самостоятельно) позволяют выявить строение этой поверхности (рис. 25). Рис. 25

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. Параболоиды 5. Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид: (p>0, q>0). Из уравнения видно, что координатные плоскости Охz, Оуz являются плоскостями симметрии параболоида, а Oz – ось симметрии его. Начало координат О – вершина параболоида (рис. 26). Исследование формы поверхности методом сечений провести самостоятельно. Рис. 26

Лекция 8. Поверхности в пространстве R 3. 6. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид: (p>0, q>0). Гиперболический параболоид изображен на рис. 27. Построить самостоятельно цилиндрические поверхности – – эллиптический цилиндр с уравнением Рис. 27 (a, b>0) и гиперболический цилиндр с уравнением (a>0, b>0).

Библиографический список 1) Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М. : Наука, 1984. 320 с. 2) Бугров Я. С. , Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М. : Наука, 1980. 176 с. 3) Воеводин В. В. Линейная алгебра. М. : Наука, 1974. 336 с. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. М. : Наука, 1980. 240 с. 4) Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. М. : Наука, 1978. 384 с. 5) Рублев А. Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. М. : Высшая школа, 1972. 424 с.