Лекция 8 ОСНОВЫ РАБОТЫ В СРЕДЕ Math CAD

Лекция 8 ОСНОВЫ РАБОТЫ В СРЕДЕ Math. CAD 1

Назначение Math. CAD • Первоначально компьютер задумывался как инструмент для научно технических расчетов. • Со временем спектр применений компьютера (особенно с появлением персонального компьютера) существенно расширился. • Но традиционные расчетно аналитические задачи по прежнему активно решаются с помощью компьютера. Для этих целей создаются так называемые CAD системы (Computer Aided Designing). Одной из них и является система Math. CAD, ориентированная на решение математических задач, причем как в аналитическом (символьном), так и числовом виде. • Кроме того, Math. CAD содержит и функционально полный набор встроенных операторов структурного программирования, что позволяет реализовывать сколь угодно сложные алгоритмы и создавать Math. CAD программы в стиле традиционных языков программирования высокого уровня. 2

Версии Math. CAD Система Math. CAD постоянно совершенствуется. В настоящее время имеется уже версия 14 этой системы. Мы будем здесь рассмат ривать портативную версию такой системы, поскольку она не требует специальной установки на компьютер (досаточно просто скопировать ее на жесткий диск компьютера). Заметим, что в более современных версиях появляются все более новые форматы сохранения результатов в файле. Однако имеется возможность сохранять и в форматах предыдущих версий. Поэтому, если требуется просматривать результаты в более ранних версиях, то следует позаботиться о сохранении результатов в соответствующем формате. Запуск системы Math. CAD обычно производится из той папки, куда вы скопировали упомянутую портативную систему. Для собственно запуска системы следует запустить приложение Mathcad 14. 3

Редакторы и процессоры Math. CAD • В систему Math. CAD интегрировано несколько взаимосвязанных компонентов – редакторов и процессоров. • Формульный редактор обеспечивает ввод, редактирование и отображение математических и логических выражений в общепринятой математической нотации. • Текстовый редактор играет вспомогательную роль, давая возможность размещать комментарии непосредственно в тексте Math. CAD программ. • Вычислительный процессор производит интерпретацию математических выражений и вычисление их результатов. • Процессор символьных преобразований тоже обрабатывает математические выражения, однако, в отличие от вычислительного процессора, он не вычисляет результаты выражений, а производит их преобразование – например, дифференцирование, интегрирование и т. п. • Графический процессор предоставляет средства графического отображения результатов вычисления и графического анализа данных 4

Панели инструментов 5

Назначение панелей инструментов • • • Панель Калькулятор, например, содержит кнопки основных математических операций и функций. Панель Матрица – содержит необходимые инструменты для матричных операций. Панель Логика содержит основные логические операции. Панель Графики предоставляет возможности для построения графиков Панель Исчисление дает возможность провести дифференцирование, интегрирование, вычисление 6

Решение системы линейных уравнений Особый класс (и особую трудность) представляют так называемые матричные задачи. Как известно, вычисление определителей, обратных матриц, выполнение операций матричной алгебры является весьма трудоемкими операциями. В то же время в реальных инженерных задачах это требуется достаточно часто (например, при решении систем линейных уравнений, задач оптимизации и т. п. ). В системе Math. CAD имеется целый ряд встроенных операций по работе с матрицами. Пример 1 -1. Решить систему линейных уравнений 10 x 1 – 7 x 2 = 7 – 3 x 1 – 2 x 2 +6 x 3 = 4 5 x 1 – x 2 + 5 x 3 = 6 7

Порядок решения 1) определить матрицу коэффициентов системы А. Для этого: стать на свободное место в окне Math. CAD и нажать на клавиатуре A и двоеточие (возникнет знак присваивания), а затем на панели Матрица нажать значок Матрица или Вектор в результате возникнет окно диалога для задания размера матрицы (указать 3 на 3) в возникшем окошке вводить нужные числа (см. рис. 3) 2) аналогично зададим вектор правых частей системы (обозначим b), состоящий из трех строк и одного столбца 8

Порядок решения (продолжение) 3) записать решение системы в матричном виде x: = A 1 * b (для задания обратной матрицы следует использовать на панели Матрица значок Инверсия) 4) чтобы получить значения вектора результата следует набрать x и знак «равно» (см. рис. 2) 5) следует также провести проверку – перемножить вектор x на матрицу A (присвоить это произведение, например, переменной y) и посмотреть результат y. 9

10

11

Правило Крамера Для решения систем линейных уравнений используют и так называемое правило Крамера. Суть его в том, что для заданной системы ищут главный определитель матрицы коэффициентов и побочные определители матриц, которые получаются при замене каждого столбца на вектор правых частей (свободных членов). Корни системы есть отношение каждого из этих дополнительных определителей к главному определителю, т. е. первый корень получается при делении определителя матрицы, полученной при замене первого столбца на столбец свободных членов, на главный определитель и т. д. 12

13

Графики в Math. CAD • Одна из весьма сильных возможностей Math. CAD – представление результатов расчетов в графическом виде. Чаще всего это используется при построении графиков функций. • При работе с графикой активно используются так называемые ранжированные переменные. Они содержат ряд числовых значений, задаваемых арифметической прогрессией. Для определения ранжированной переменной задают 1 й, 2 й и последний элементы. При этом первый от второго отделяются запятыми, а последний – через точку с запятой (на экране при этом отображается две точки). Разность между первым и вторым элементами и задает шаг изменения ранжированной переменной (разность арифметической прогрессии) Если второй элемент опущен, то шаг изменения ранжированной переменной считается равным единице. • Важное свойство ранжированной переменной состоит в том, что если такая переменная используется в выражении, то такое выражение будет вычисляться автоматически столько раз, сколько значений принимает эта 14 переменная.

Пример 2 -1. Для заданного х от – 10 до 10 получить значения функции y=x 2 и построить график такой функции. На клавиатуре: На экране: x: 10; 10 y[x: x (нажать символ x 2 на панели Calculator) (при этом, возможно понадобится сме нить ORIGIN – начальное значение для ранжированной переменной: командой Инструменты/Параметры раб. стола на вкладке Встроенные переменные указать ORIGIN не с нуля а от – 10). Надо отметить, что на самом деле мы здесь задаем просто массив y, у которого x является индексом y[x = После этого получим набор значений y (см. справа). Полученную табличку можно растянуть вниз, чтобы увидеть остальные значения (в данном случае до 102) 15

Теперь построим график y(x)=x 2 Для этого на панели Графики выберем первый значок X-Y Plot (или нажать Shift-2) @ Остается сделать обозначения по осям: по оси абсцисс написать x, а по оси ординат y[x. 16

В результате получим график вида: 17

Решение уравнений (графически) Графические возможности Math. CAD можно использовать, например, для решения уравнений (графическим методом). Пример 2 -2. Решить графически уравнение cos(x)=x 2 Будем строить графики двух функций y 1(x)=cos(x) и y 2(x)=x 2. Абсцисса точки их пересечения и даст примерное значение корня. Порядок действий представлен ниже: задаем интервал – от –π до π задаем выражение для первой функции задаем выражение для второй функции нажимаем Shift 2 ( @ ) указываем оси (причем на оси ординат пишем функции через запятую: y 1(x), y 2(x) ) 18

Видим на графике, что корни примерно в районе – 1 и 1. 19

Уточнение корня (1 й корень) 20

Уточнение корня (2 й корень) 21

Решение систем нелинейных уравнений Пример 2 -3. Решить систему нелинейных уравнений Как ясно, в данном случае мы должны получить два числа – значения x и y, являющиеся решениями данной системы. Поэтому здесь, после написания Find(x, y) следует нажать на панели Symbolic символ ▪ → (или нажать Ctrl+Shift+. ) и затем клавишу «=» . В результате и получим корни (см. ниже). 22

23