Лекция № 8 Линейные экономические модели
Собственные значения и собственные векторы матриц Число называется собственным значением (n х n) – матрицы А, если существует ненулевой n – мерный столбец , такой что при этом вектор называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению. Для того чтобы число было собственным значением матрицы А, необходимо и достаточно, чтобы оно было решением характеристического уравнения где: Е – единичная (n х n) – матрица.
Замечания Замечание 1. Так как характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n – й степени, то матрица А может иметь не более n действительных собственных значений. Замечание 2. Собственные значения матрицы А и транспонированной матрицы АТ совпадают. Замечание 3. Если – собственный вектор матрицы А, то любой коллинеарный ему вектор (то есть вектор вида , ) также является собственным вектором матрицы А, причем оба вектора соответствуют одному и тому же собственному значению.
Вычисление собственных значений и векторов матрицы Пример 1. Дана матрица собственные значения и Найти собственные векторы этой матрицы. Решение. Составим характеристическое уравнение данной матрицы. Для этого запишем ее определитель, вычитая при этом из чисел главной диагонали Найдем определитель и решим квадратное уравнение .
Вычисление собственных значений и векторов матрицы Итак, собственные значения матрицы Теперь найдем ее собственные векторы. Матрица имеет размерность (2 х 2). Следовательно ее собственные векторы будут вид . Тогда матричное уравнение запишется следующим образом В левой части проведем обычное матричное умножение, в правой части внесем Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Приравниваем соответствующие элементы векторов -столбцов и получаем систему линейных уравнений.
Вычисление собственных значений и векторов матрицы Перенесем все влево. Далее Теперь подставим значение в полученную систему. Из обоих уравнений следует, что. Необходимо подобрать такое значение , чтобы первая координата собственного вектора была целой, положительной и минимальной. Пусть , тогда Следовательно, первый собственный вектор матрицы А
Вычисление собственных значений и векторов матрицы Теперь найдем второй собственный вектор матрицы. Для этого подставим в систему значение Положим . Получим Тогда Отсюда, второй собственный вектор матрицы Проверим справедливость равенства Очевидно,
Число и вектор Фробениуса Фердинанд Георг Фробениус (26 октября 1849 – 3 августа 1917) – немецкий математик Собственные векторы и собственные значения неотрицательных матриц являются важными характеристиками функционирования экономических систем. Особое место среди неотрицательных матриц занимаю неразложимые матрицы. Определение 1. Матрица А называется неотрицательной и обозначается , если все ее элементы неотрицательны.
Число и вектор Фробениуса Определение 2. Неотрицательная квадратная (n x n) – матрица А называется разложимой, если одновременной перестановкой строк и столбцов ее можно привести к виду где: 0 – нуль-матрица; а А 1 и А 2 квадратные матрицы размеров r x r и (n – r) x (n - r) соответственно; в противном случае матрица называется неразложимой. Любая положительная матрица неразложима. С экономической точки зрения разложимость матрицы говорит о том, что в рамках данной экономической системы существует некоторая автономная подсистема. Так, если элемент аij матрицы А показывает, какое количество продукции i – й отрасли используется в j – й отрасли, то разложимость матрицы А говорит о том, что существует группа отраслей, не использующих продук-цию остальных отраслей. Неразложимость матрицы А показывает, что любая отрасль хотя бы косвенным образом использует
Число и вектор Фробениуса Замечание. Квадратная матрица А размера 2 х 2 разложима тогда и только тогда, когда либо , либо Теорема Фробениуса-Перрона. Неотрицательная матрица А имеет такое собственное значение , что для любого собственного значения матрицы А. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор , соответствующий собственному значению. При этом, если матрица А неразложима, то и существует. Определение. Собственное значение неотрицательной матрицы А называется числом Фробениуса, а собственный вектор - вектором Фробениуса матрицы А. Пример. Пусть дана неразложимая матрица Найти число и вектор Фробениуса этой матрицы. .
Вычисление числа и вектора Фробениуса Решение. Запишем ее определитель, вычитая при этом из чисел главной диагонали Найдем определитель и решим квадратное уравнение Собственное значение является числом Фробениуса поэтому именно оно. .
Вычисление числа и вектора Фробениуса Матрица имеет размерность (2 х 2). Следовательно ее собственные векторы будут вид . Тогда матричное уравнение запишется следующим образом Проведем матричное умножение Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Приравниваем соответствующие элементы векторов -столбцов и получаем систему линейных уравнений.
Вычисление числа и вектора Фробениуса Теперь подставим значение систему. в полученную Из обоих уравнений следует, что. Необходимо подобрать так, чтобы первая координата собственного вектора была целой, положительной и минимальной. Пусть , тогда , и вектор Фробениуса матрицы В.
Число и вектор Фробениуса Замечание. Если все суммы элементов строк (столбцов) неотрицательной матрицы А равны одному и тому же числу , то число Фробениуса равно. Пример. Дана неотрицательная матрица А . Найти число и вектор Фробениуса. Решение. Число Фробениуса этой матрицы как сумма элементов каждого столбца равны 6. Соответственно, вектор Фробениуса имеет вид , так
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Скачать презентацию Лекция 8 Линейные экономические модели Собственные
МОР_09.ppt