Лекция 8 Кривые линии и поверхности 1. 2. 3. 4. Плоские кривые линии. Пространственные кривые линии. Образование поверхностей. Пересечение поверхности плоскостью частного положения. 5. Пересечение поверхности плоскостью общего положения. 6. Пересечение поверхности прямой линией. 1
8 КРИВЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ Кривую линию можно рассматривать как траекторию движения точки на плоскости или в пространстве. В первом случае получим плоскую кривую, во втором - пространственную. В технике кривая линия это - очертание инженерных конструкций и деталей машин, границы и результат пересечения поверхностей. Кривые линии применяются при конструировании различных поверхностей, в теории машин и механизмов, в моделировании и для графического выражения различных функциональных зависимостей. Если линия описывается аналитическим уравнением, то она называется закономерной; если алгебраическим уравнением - кривая называется алгебраической; если тригонометрической функцией - трансцендентной. 8. 1 Плоские кривые Некоторые плоские кривые линии изучаются в курсе высшей математики (эллипс, парабола, гипербола и т. д. ). В инженерной графике кривые линии изучаются по их проекциям. При построении проекций плоской кривой линии необходимо указывать ее характерные точки. На рис. 8. 1 изображены некоторые такие точки. Рис. 8. 1 М - обыкновенная точка кривой. А - узловая точка, в которой кривая имеет две касательные. В - точка возврата первого рода, в которой кривая расположена по обе стороны одной касательной. С - точка возврата второго рода, в которой касательная расположена по одну сторону от двух ветвей кривой. 2
Составные кривые линии - обводы В практике конструирования линий и поверхностей, например, поверхность кулачка, широко используются составные кривые линии - обводы. Это кривые, составленные из дуг различных кривых, определяемых парами смежных точек. Точки стыка дуг обвода называют узлами. Обвод называют гладким, если дуги обвода в его узлах имеют общие касательные. Важное практическое значение имеет построение плоских лекальных и циркульных кривых, выполнение сопряжении (например, построение очертания кулачка – первое домашнее задание следующего семестра). Контуры таких деталей, как фланец или кулачок, часто представляют собой коробовые кривые. Коробовые кривые состоят из сопрягающихся дуг окружностей различных диаметров. К таким кривым относятся овалы, овоиды, завитки. Завиток – плоская спиральная кривая, вычерчиваемая циркулем путем сопряжения дуг окружностей. Построение завитков выполняют при вычерчивании таких деталей, как пружины и спиральные направляющие (рис. а). 3
ОВАЛ, ОВОИД На рис. е показана часть распределительного вала двигателя, профиль кулачков вала имеет форму овоида. Овоид в отличие от овала имеет только одну ось симметрии. Радиусы R и R 1 дуг окружностей, центры которых лежат на оси симметрии овоида, не равны другу (рис. д). 4
ЛЕКАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ При выполнении чертежей часто приходится прибегать к вычерчиванию кривых, состоящих из ряда сопряженных частей, которые невозможно провести циркулем. Такие кривые строят обычно по ряду принадлежащих им точек, которые затем соединяют плавной линией сначала от руки карандашом, а затем обводят с помощью лекал. Чтобы начертить плавную лекальную кривую, необходимо иметь набор из нескольких лекал. Выбрав подходящее лекало, надо подогнать кромку части лекала к возможно большему числу заданных точек кривой. Чтобы обвести следующий участок кривой, нужно приложить кромку лекала, например, к точкам 5– 10, при этом лекало должно касаться части уже обведенной кривой (между точками 5 и 6). Затем обводят кривую между точками 6 и 9, оставляя участок между точками 9 и 10 необведенным, что позволит получить кривую между точками 9 и 12 более плавной. Ниже рассмотрены способы построения кривых, наиболее часто встречающихся в технике. 5
Построение эллипса Один из вариантов построения эллипса по большой и малой осям (проекции окружности на непараллельную ей плоскость), приведен на рис. 8. 2. При построении проводим окружности радиусами r и R из одного центра O и произвольный радиус OA. Из точек 1 и 2 пересечения радиуса с окружностями проведем прямые, параллельные осям эллипса, и в точке их пересечения отметим точку М искомого эллипса. Аналогично определяются другие необходимые точки. Как правило, для построения эллипса этим способом достаточно определить 8 -12 точек. Рис. 8. 2 Построение эллипса по большой и малой осям удобно использовать при выполнении домашнего задания ДЗ-3. А также при построении элементов кулачка (ДЗ-1 в следующем семестре). 6
КРИВЫЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ Построение кривых линий, полученных в результате сечений конуса плоскостью, подробнее будут рассмотрены ниже. Использование некоторых плоских кривых в технике посмотрим на примерах. 7
Синусоида Гипербола Синусоида – плоская кривая, графически изображающая изменение синуса в зависимости от изменения угла. Величина L называется длиной волны синусоиды, L = 2πr. в) Используется синусоида, например, при вычерчивании шнека (рис. б) На рис. а показана деталь "проушина", на боковой поверхности которой имеется линия, представляющая собой гиперболу. 8
СПИРАЛЬ АРХИМЕДА Спираль Архимеда – плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно от центра О по равномерно вращающемуся радиусу. В машиностроении спираль Архимеда используется, например, для сообщения движения в радиальном направлении кулачкам зажимного патрона токарного станка (рис. а). На тыльной стороне большой конической шестерни нарезаны канавки по спирали Архимеда. 9
ЭВОЛЬВЕНТА Эвольвента окружности – траектория любой перекатываемой без скольжения по окружности. точки прямой линии, В машиностроении профили зубьев колес и зуборезный инструмент – пальцевую фрезу – выполняют по эвольвенте (рис. б). 10
8. 2 Пространственные кривые линии В качестве примера пространственной кривой линии рассмотрим коническую винтовую линию. Коническая винтовая линия - траектория точки, движущейся по прямолинейной образующей, вращающейся вокруг оси конуса. Размер перемещения точки вдоль оси конуса за полный оборот вокруг оси называют шагом конической винтовой линии. Если вращательное и поступательное перемещения точки равны, то говорят о винтовой линии с постоянным шагом (рис. 8. 4). Такая линия проецируется на плоскость, перпендикулярную оси конуса, в виде спирали Архимеда. При построении точки 1 горизонтальная проекция образующей конуса SA повернута на З 60°/12, а точка перемещена по ней на 1/12 длины образующей SА. Аналогично построены остальные точки. Рис. 8. 4 Подробнее построение пространственных кривых линий будет разобрано нами при построении линий пересечения поверхностей вращения. 11
8. 3 Образование поверхностей Многое, что окружает нас в природе и технике, если смотреть с позиции геометрии - это поверхности весьма сложных форм и законов образования. В инженерной графике поверхность как объект инженерного исследования может быть задана: множеством точек, уравнением, чертежом и т. д. Ознакомившись с понятиями определителя и каркаса, можно считать, что поверхность - совокупность последовательных положений образующих и направляющих (рис. 8. 5). Нетрудно видеть, что образующие ℓi и направляющие mi можно поменять местами, при этом поверхность получается одна и та же. На практике из всех способов задания поверхностей выбирают наиболее простой. l l' Линейчатые поверхности – образуются движением прямой по заданному закону. l" m m m" ' ln A B mn C • l– образующая поверхности; • m – направляющая поверхности. 12
Проецирование поверхности Поверхности на чертеже, как правило, задаются своим очерком. Очерк – граница видимости поверхности на плоскости проекций. Фронтальный очерк П 2 Z Профильный очерк A 2 В 3 П 3 Х A x B Y B 3 П 1 A 1 А 2 B 1 А 1 В 1 Горизонтальный очерк Y 13
Принадлежность точки цилиндрической поверхности Цилиндрическая поверхность (рис. 8. 9) образуется прямой ℓ, пересекающей криволинейную направляющую m и параллельную заданному направлению s. Определитель: ℓ∩m, ℓ//s Цилиндр 1) Цилиндрическая: l m В А l² D ℓ С m² A AX(l² ∩ m²) А m Рис. 8. 7 В D Точка на поверхности цилиндра рассматривается как точка, принадлежащая линии цилиндра, его образующей или окружности. 14
Поверхности вращения 2) Коническая: l Конус i S l² С S A m m² m В А D AX(l²∩m²) СX(SD∩m) Рис. 8. 8 15
Принадлежность точки конической поверхности Коническая поверхность (рис. 8. 8) образуется перемещением прямолинейной образующей ℓ по криволинейной направляющей m. При этом одна точка образующей всегда неподвижна. Определитель поверхности: S ℓ, ℓ∩m Точка на поверхности конуса вращения также рассматривается как точка, принадлежащая образующей конуса или окружности. Если образующая ℓ скрещивается с осью вращения, то образуется поверхность однополостного гиперболоида вращения. Рис. 8. 9 Примером гиперболоида вращения может служить Шуховская башня, построенная в 1921 г. , высотой 160 метров, состоящая из 6 секций – гиперболоидов вращения. Башня построена по проекту 16 Шухова В. Г. (1853 -1939 гг).
Положение точки на поверхности сферы Точка на поверхности сферы рассматривается как точка, принадлежащая окружностям сферы: параллелям, или меридианам. Пример точек, принадлежащих параллелям и меридианам, приведен на наглядном изображении сферы. Рассмотрим точки, принадлежащие поверхности сферы на эпюре. ( ( ) ) 17
Поверхности вращения Сфера - образована вращением окружности вокруг собственной оси симметрии. Тор - образуется при вращении окружности вокруг внешней оси симметрии. Чертежи выполнены в Auto. CAD. 18
Поверхности вращения а) Открытый тор ( тор-кольцо): А б)Закрытый тор: в) Сфера ( шар) В С Поверхность, образованная внутренней стороной вращающейся дуги называется глобоидом. D 19
ТОРСОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ Торсовая поверхность представляет собой множество касательных к произвольной пространственной кривой n (к ребру возврата). Торсовая поверхность может быть задана всего лишь одной линией - кривой n, которую следует рассматривать как геометрическую часть определителя поверхности (рис. 8. 11). Ребро возврата делит поверхность на две плоскости. Наглядное представление о своеобразном строении поверхности вблизи ребра возврата дают сечения ее плоскостью, перпендикулярной образующей и проходящей через точку касания этой образующей. На рис. 8. 11, это кривая МКN, которая имеет в К точку возврата. Рис. 8. 11 20
ПОВЕРХНОСТИ КАТАЛАНА Поверхности с плоскостью параллелизма или поверхности Каталана, представляют собой множество прямых (образующих), параллельных некоторой плоскости (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные линии направляющие n и m. Если направляющие - две кривые линии, то поверхность называется цилиндроидом. Если одна из направляющих - прямая линия, а вторая - кривая, то поверхность называется коноидом и, наконец, если обе направляющие - прямые линии, то поверхность называют гиперболическим параболоидом. Часто гиперболический параболоид называют неплоским четырехугольником или косой плоскостью (противоположные сторо-ны которого скрещиваются). Пример косой плоскости приведен на эпюре Монжа (рис. 8. 12). Криволинейные очерки фронтальной и профильной проекций представляют собой параболы. Рис. 8. 12 Здесь АВ и СД можно принять в качестве направляющих, тогда АД и ВС определяют положение плоскости параллелизма. 21
ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Если в качестве образующей винтовой поверхности взять отрезок АВ, перпендикулярный оси цилиндра, и этому отрезку сообщить одновременно два равномерных движения – вокруг и вдоль оси цилиндра, то концы отрезка А и В образуют две цилиндрические винтовые линии, а сам отрезок – винтовую поверхность. Такая винтовая поверхность называется прямым геликоидом (рис. б). Если в качестве образующей винтовой поверхности взять отрезок АВ, не перпендикулярный оси цилиндра (рис. в), то отрезок образует винтовую поверхность, которая называется наклонным геликоидом. 22
8. 4 Пересечение поверхности плоскостью частного положения Если плоскость проецирующая, то решение задачи сводится к построению линии, принадлежащей поверхности по известной одной ее проекции. В этом случае след проецирующей плоскости совпадает с одной из проекций линии пересечения. В том случае, когда секущая плоскость общего положения, можно воспользоваться одним из способов преобразования чертежа, и перевести плоскость в частное положение. Рассмотрим пример пересечения сферы фронтально проецирующей плоскостью (рис. 8. 13). 22 52=(62) 72=(82) α 92=(102) 32=(42) 12 41 81 101 21 (11) 31 Рис. 8. 13 Плоскость пересекает сферу по окружности, которая на плоскость П 2 проецируется в виде прямой, а на плоскость П 1 - в виде эллипса. Высшая 22 и низшая 12 точки сечения определяются пересечением следа 2 с очерком сферы. Их горизонтальные проекции находятся на главном меридиане сферы. Точки 3 и 4 – точки границы видимости на плоскости П 1. Остальные точки сечения найдены с помощью каркаса сферы, представленного параллелями окружностями. Отметим, что точки 3 и 4, отделяющие видимую часть эллипса от невидимой, принадлежат экватору, а точки 5 и 6 определяют большую ось эллипса, длина которой равна диаметру окружности сечения (т. е. отрезок 51 - 61 равен отрезку 12 -22). Аналогичные сечения получаются при пересечении цилиндра плоскостью. Так как в технике широко используются конусы 23 вращения, интерес представляют конические сечения – коники.
8. 4. 1 Сечение конуса плоскостью частного положения В зависимости от положения секущей плоскости кониками могут быть: парабола, гипербола, эллипс, окружность или две пересекающиеся прямые. Рассмотрим все пять случаев. Если секущая плоскость параллельна основанию конуса, то сечение – окружность (рис. 8. 14). Если секущая плоскость проходит через вершину конуса (рис. 8. 15), то сечение – Пример 2. Пример 1. S 2 12 22 Сечение – треугольник. Сечение – окружность. S 1 21 А 11 А 24 Рис. 8. 15
8. 4. 1. 1 Сечение конуса плоскостью не параллельной ни одной из образующих. Если секущая плоскость пересекает все образующие конуса, то сечение – эллипс (рис. 8. 16). Пример 3. s S 2 24 14 12 32=(42) 22 Сечение - эллипс 41 21 11 31 Рис. 8. 16 Рис. 8. 17 25
Сечение конуса плоскостью, параллельной одной образующей. Построение параболы. Пример 4. S S 3 Сечение - парабола 22 5 Σ 4 32=(42) Σ 7 12 11 ¹ 41 6 21 2 11 31 1 Рис. 8. 18 Рис. 8. 19 26
Сечение конуса плоскостью, параллельной двум образующим. Построение гиперболы. Пример 5. S 2 Сечение - гипербола 32 42 52 22 12 S 1 А 11 21 41 31 51 Рис. 8. 20 А 27
Пересечение тора плоскостью частного положения 28
8. 5 Пересечение поверхности плоскостью общего положения В качестве примера разберем пересечение цилиндра плоскостью общего положения, заданной следами (рис. 8. 21). Для начала отметим, что применив преобразования, 22 можно свести задачу к частному случаю. Р 2 f 2 В 2 (N 2) D 2 F 2 (Е 2) C 2 А 2 12 К 2 N 1 В 1 21 E 1 С 1 W 1 D 1 Ф 1 А 1 Q 1 11 F 1 К 1 Рис. 8. 21 Σ 1 Разберем каноническое решение задачи для общего случая (построение эллипса). Решение: Построение сечений всегда удобно начинать с характерных точек. К ним относятся: - высшая и низшая точки сечения; - большая и малая ось (для эллипса); - точки границы видимости в проекциях. Отметим также, что горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с очерком цилиндра. 1) Для нахождения высшей и низшей точек сечения проведем вспомогательную секущую плоскость Q через центр окружности основания цилиндра и перпендикулярно горизонтальному следу плоскости Р (т. е. через линию ската плоскости). Q 1≡А 1 В 1, Q 2 ОХ, Q∩Р=1 -2, Q∩Ф=образующие 2) Для нахождения точек, определяющих границы видимости, проведем плоскость W//П 2. W≡С 1 D 1, W∩Ф=Ф 2, W∩Р=f, f 2//Р 2, 3) Малую ось определим через плоскость Σ, перпендикулярную большой оси (линии ската). Σ 1 Q 1, Σ 1≡Е 1 F 1, Σ∩Р=h, Σ∩Ф=образующие, 4) Дополнительные (рядовые) точки сечения определяются аналогично, по мере надобности. Соединим полученные точки. 29
Пересечение цилиндра плоскостью общего положения Построение отсеченного эллипса Р 2 А 2 22 f 2 (К 2) D 2 (Е 2) F 2 C 2 12 В 2 К 1 21 А 1 E 1 D 1 W 1 С 1 Ф 1 F 1 11 Q 1 В 1 Р 1 Σ 1 Решение: Построение сечения удобно начинать с характерных точек. К ним относятся: - высшая и низшие точки сечения; - малая ось; - точки границы видимости в проекциях. Отметим, что горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с очерком цилиндра. 1) Для нахождения высшей точки сечения проведем вспомогательную секущую плоскость Q через центр окружности основания цилиндра и перпендикулярно горизонтальному следу плоскости Р (т. е. через линию ската плоскости). Q 1≡А 1 О 1, Q 2 ОХ, Q∩Р=1 -2, Q∩Ф=образующие 2) Низшие точки сечения определяются сразу, С 1 и В 1 = Р 1 ∩ Ф 1. С 2 и В 2 ОХ. 3) Для нахождения точек, определяющих границы видимости, проведем плоскость W//П 2. W ≡С 1 D 1, W ∩Ф=Ф 2, W ∩ Р=f, f 2//Р 2, 4) Малую ось определим через плоскость Σ, перпендикулярную большой оси (линии ската). Σ 1 Q 1, Σ 1≡Е 1 F 1, Σ∩Р=h, Σ∩Ф=образующие, 5) Дополнительные (рядовые) точки сечения определяются аналогично, по мере надобности. Соединим полученные точки на фронтальной проекции с учетом видимости. 30
Пересечение конуса плоскостью общего положения S 2 Решение: 1. Проведем линию ската через центр окружности основания. 2. Через нее проведем плоскость Р. Р П 1. Эта плоскость пересекает конус Е 2 по треугольнику 1 -S-2. D 2 А заданную плоскость Δ – по линии ската 3 -4. Линия ската 32 -42 пересекаясь с M 2 S 2 -12 и S 2 -22 даст точки N (высшую) и M (низшую). С 2 42 12 3. Найдем точки G и D – границы видимости на П 2. Для этого плоскость Q проведем через К 1. Q//П 2. Q ∩ Ф = Ф 2, Q ∩ Δ = 5 -6. 52 -62 ∩ Ф 2 = G и D. 4. Найдем малую ось Е и F. Для этого поделим MN пополам. MО=ОN, и через О 2 проведем плоскость Σ // П 1. Σ∩Δ=h, Σ∩Ф= окружность m. m 1 ∩ hΣ = Е и F. G 2 52 F 2 О 2 rΣ Ф 2 22 21 m 1 К 1≡ 51 G 1 О 1 Р 1 Σ 2 А 1 D 1 41 62 N 1 M 1 11 С 1 В 2 32 N 2 Е 1 Q 1 А 2 h 1 F 1 31 5. Для нахождения дополнительных точек проведем несколько горизонтальных плоскостей. Эти плоскости с конусом пересекаются по окружностям, а с плоскостью Δ – по горизонталям. Также не забываем, что эллипс – симметричная фигура, используем это для нахождения дополнительных точек. В 1 61 Соединим полученные точки эллипса на горизонтальной плоскости проекций. И на фронтальной плоскости с учетом видимости (часть эллипса выше DG –невидимая). 31
8. 6 Пересечение поверхности прямой линией Рассмотрим на эпюре пример пересечения прямой линии с поверхностью прямого кругового конуса (рис. Для начала отметим, что применять преобразования не 8. 22). имеет смысла, т. к. прямая b и так находится в частном положении. Если прямую заключить в проецирующую плоскость, то придется строить сечение конуса этой плоскостью – эллипс. Поэтому плоскость выберем такую, которая даст в сечении простую фигуру. S 2 b 2 Е 2 А 2 Решение: 1) Зададим вспомогательную плоскость Q = b ∩ SА. Такая плоскость пересечет конус по треугольнику с вершиной в точке S. 2) Построим с помощью точек М=b∩П 1 и N=SА∩П 1 прямую n - след плоскости Q на горизонтальной плоскости проекций: n = Q ∩ П 1, и отметим ее пересечение с окружностью основания конуса m: К 2 3) Сечение конуса плоскостью Q - образующие SC и SB, которые пересекаются с заданной прямой b в точках К и Е. m 1 4) К и Е - искомые точки встречи прямой с конической поверхностью. S 1 К 1 М 1 n 1 C 1 А 1 Е 1 В 1 b 1 N 1 Приведенная методика удобна и для случая пересечения прямой линии с поверхностью наклонного цилиндра. Вспомогательная плоскость при этом определяется двумя пересекающимися прямыми одна из которых - заданная, а вторая - параллельная образующим цилиндра. Для нахождения точек встречи прямой с поверхностью сферы, удобнее применить преобразование. 32 Рис. 8. 22
Пересечение прямой линии с наклонным цилиндром Решение : 1. Через прямую АВ зададим плоскость Q (АВ∩АС). 2. Найдем следы прямых АВ и АС на плоскости П 1. N=АВ∩П 1, М=АС∩П 1. N 1≡N, M 1≡M. А 2 W 2 К 2 Е 2 3. Найдем горизонтальный след плоскости Q: Q 1=M 1 N 1. В 2 С 2 W 1 Е 1 С 1 ≡ M 1 К 1 А 1 В 1 N 1 4. Плоскость Q пересекает цилиндр по четырехугольнику, на пересечении которого с прямой отметим точки К и Е. Определим видимость прямой. АК и ВЕ - видимые 33
Пересечение прямой линии с поверхностью сферы Так как сечение сферы любой плоскостью – окружность, задача сводится к замене плоскостей проекций так, чтобы эта окружность проецировалась без искажения. Пересечение окружности с проекцией прямой А 4 В 4 и даст точки М и N пересечения сферы с прямой АВ. 34