Лекция 8 Другие виды математических моделей технических

Лекция № 8 Другие виды математических моделей технических объектов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Законы сохранения массы, импульса, энергии Газовая динамика Квантовая механика Гидродинамика Электродинамика Теория оптимальной фильтрации Интегральные уравнения Теория управления Решение краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными Акустика Спектроскопия Исследование напряженно-деформированных состояний конструкций

Общий вид интегрального уравнения: – ядро интегрального уравнения; x – независимая переменная; y(x) – искомая функция; s – переменная интегрирования; – заданная функция

Методы решения интегральных уравнений Методы точного (явного) решения Численные Методы приближенного решения Приближенно - аналитические Метод Монте-Карло Выбор метода решения определяется типом интегрального уравнения Численные методы решения интегральных уравнений предполагают замену интеграла конечной суммой на основе какой-либо квадратурной формулы численного интегрирования

Дискретные модели 1 используются Для описания дискретных физических систем, состояние которых изменяется только в дискретные моменты времени. Выходные сигналы таких систем представляют собой последовательности отсчетов, т. е. являются дискретными К дискретным физическим системам относятся импульсные, релейные, цифровые системы (телевидение, радиосвязь, системы измерения координат подвижных объектов, системы автоматического регулирования, контроллеры, микропроцессорные устройства и т. д. ) 2 Для описания непрерывных систем, когда сама постановка задачи требует рассмотрения состояния системы только в последовательные дискретные моменты времени. В этом случае с помощью известных приемов производится дискретизация непрерывной модели Дискретизация процессов состоит в замене “непрерывных значений” дискретными отсчетами

Возможны три варианта дискретизации: по времени, по уровню, по времени и уровню одновременно Под квантованием понимают преобразование величины U(t) с непрерывной шкалой значений в величину имеющую дискретную шкалу значений n. U(t),

Особое внимание уделяется выбору шага дискретизации, оптимального с точки зрения компромисса между точностью модели и ее простотой. Процесс, порождаемый дискретизацией по времени, называют дискретным. Сигналы, квантованные по времени, имеют место в импульсных системах; сигналы, квантованные по уровню – в релейных системах. При квантовании по уровню непрерывное значение функции заменяется целочисленным кодом: Процессы, дискретизованные по времени и по уровню, называются цифровыми. Для формирования цифровых сигналов применяют аналого-цифровые преобразователи (АЦП). Системы, в которых действуют цифровые сигналы, называют цифровыми. U(t)

Модели дискретных систем формируются на основе математического аппарата решетчатых функций и разностных уравнений Пример линейной стационарной дискретной модели в форме разностного уравнения 3 -го порядка: (* ) где - заданная входная решетчатая функция; - искомая выходная решетчатая функция, представляющая собой решение разностного уравнения (*)

Решетчатая функция Значения решетчатой функции определены только для дискретных моментов времени t = n. T (n = 0, 1, 2, 3, … ). Т – период квантования.

Для анализа и исследования дискретных систем применяются дискретное преобразование Лапласа, z-преобразование, дискретное преобразование Фурье и т. д.

Дискретное преобразование Лапласа изображение решетчатой функции решетчатая функция Z - преобразование Z - изображение решетчатой функции Z – комплексная переменная

Дискретные математические модели, характеризующие динамические свойства дискретной системы (по аналогии с непрерывными системами): дискретная передаточная функция, переходная функция, импульсная переходная (весовая) функция частотные характеристики