Лекция 7 Теоремы о неравносильных преобразованиях
Теорема 6. Если тождественное преобразование сужает область определения, то можно потерять корни, но только те, которые не вошли в новую область определения. Доказательство. (достаточно предъявить пример) Пример. применим универсальную тригонометрическую подстановку, После её применения из ОДЗ пропадут числа
Проверим, не являются ли пропавшие числа корнями «выпавшие » числа являются корнями→записать их в ответ вместе с остальными решениями преобразованного уравнения Практические выводы. Можно применять преобразования, сужающие ОДЗ, если а) выяснить, какие числа выпадают из ОДЗ и б) можно проверить эти числа на принадлежность к корням уравнения. НО не всегда это просто Все «выпавшие» числа не проверить→применить не сужающее ОДЗ преобразование→корень x=1/2 - из потерянной области
Теорема 7. Если обе части уравнения умножить на выражение P(x), которое существует и равно 0 на ОДЗ данного уравнения, то можно получить лишние корни, но это только те числа, для которых Р(х)=0 Достаточно пример: Приём. Произведение cos удваивающихся аргументов→ ∙ умножение на sinx обеих частей ур-ния. проверим на принадлежность решению надо исключить из решения
Наименьший общий период решения – НОК Поэтому рассмотрим случаи Ответ:
Практические выводы из теоремы 7 Умножить уравнение на выражение , содержащее переменную, равную 0 на ОДЗ уравнения, можно, если выполнить проверку в конце решения, но не для всех решений, а только для тех, которые обращают в 0 то выражение , на которое умножили. ¢
Теорема 8. Если обе части уравнения умножить на выражение , не имеющее смысла на ОДЗ уравнения(или разделить на выражение, равное 0 на ОДЗ уравнения) , то можно потерять корни, но только те, для которых не имеет смысла выражение на которое умножали. Пример. Проверка. х-1=0 при х=1. Пусть х=1→(1 -1)1=1 -1; 0=0(и). → х=1 - корень. Ответ. ± 1 Практические выводы. Можно делить уравнение на выражение, содержащее переменную, и равное 0 на ОДЗ уравнения, если сделать проверку тех значений переменной, при которых выражение равно 0, на принадлежность к корням уравнения
Теорема 9. Если взять от обеих частей уравнения функцию, не требуя её инъективности на объединении областей значений, то можно получить лишние корни. Пример. х=1, возведение в квадрат на R не инъективно, х2=1; х= ± 1
неравенства ¢ ¢ ¢ Определение 1. : Соотношения f(x)<g(x), …где f(x), g(x) функции от х, наз. неравенствами с переменной х. Множество значений х, при подстановке которых в неравенство получается верное числовое неравенство, называется множеством истинности (или решением данного неравенства) !!! Определение корня для неравенства не вводится!!! Определение 2. : Неравенства называются равносильными. Если их решения совпадают.
Теоремы о равносильности неравенств Т. 1. : Если h(x) определена на ОДЗ неравенства f(x)<g(x), то Т. 2. : Если h(x)>0 на ОДЗ неравенства f(x)<g(x), то Если h(x)<0 на ОДЗ неравенства f(x)<g(x), то Т. 3. : Если g(x)≡h(x) на ОДЗ неравенства, то Т. 4. : Если существует F(t) на объединении областей значений Ef U Eg и возрастает на нём, то Если существует F(t) на объединении областей значений Ef U Eg и убывает на нём, то !!! Приведите пример использования ? ? ? Показательные неравенства? Логарифмические неравенства? иррациональные неравенства?
ответы 1. а. ¢ 1. б. ¢ 2. а. ¢ 2. б. ¢ 3. ¢ Да Да Нет Да нет
Скачать презентацию Лекция 7 Теоремы о неравносильных преобразованиях Теорема
L_3_teoremy_o_neravnosilnosti.ppt