Лекція 7 Тема Пряма і площина в просторі

Лекція 7 Тема. Пряма і площина в просторі 1. Різновиди рівняння площини в просторі. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора. Нехай - задана точка площини, вектор перпендикулярний цій площині, а деяка змінна точка площини (рис. 1).

Рис. 1

Оскільки то звідки маємо рівняння площини. - шукане

Загальне рівняння площини У рівнянні розкриємо дужки і позначимо. Одержимо рівняння яке називається загальним рівнянням площини в просторі. У ньому A, B і C – координати перпендикулярного до площини вектора який називається нормальним вектором площини.

Теорема. Будь-яке рівняння першого степеня відносно x, y, z визначає площину в просторі. Будь-яка площина у тривимірному просторі визначається лінійним рівнянням. Дослідження загального рівняння площини 1. Якщо А=0, то площина By+Cz+D=0 паралельна осі Ох; 2. Якщо B=0, то площина Ax+Cz+D=0 паралельна осі Оу; 3. Якщо С=0, то площина Ах+By+D=0 паралельна осі Oz;

4. Якщо D=0, то площина Ax+By+Cz=0 проходить через початок координат. 5. Якщо A=B=0, то площина Cz+D=0 паралельна площині x. Oy; 6. Якщо A=C=0, то площина By+D=0 паралельна площині x. Oz; 7. Якщо B=C=0, то площина Ax+D=0 паралельна площині y. Oz. 8. Якщо A=D=0, то площина By+Cz=0 проходить через вісь Ox; 9. Якщо B=D=0, то площина Ax+Cz=0 проходить через вісь Oy; 10. Якщо C=D=0, то площина Ax+By=0 проходить через вісь Oz.

11. Якщо A=B=D=0, то одержимо z=0 – площина y. Oх; 12. Якщо A=C=D=0, то одержимо y=0 площина x. Oz; 13. Якщо B=С=D=0, то одержимо x=0 – площина y. Oz.

Рівняння площини у відрізках на осях. Поділимо обидві сторони рівняння на (-D) і одержимо: Знайдемо перетин площини з осями координат: • з віссю Ох: y=z=0, звідки • з віссю Oy: x=z=0, звідки • з віссю Oz: y=x=0, звідки

Тоді рівняння площини у відрізках на осях набуде вигляду: де a, b, c – відрізки, які відсікає площина відповідно на осях Ox, Oy, Oz.

Рівняння площини, що проходить через три задані точки. Нехай задано три точки площини: і а - деяка змінна точка площини. Вектори і лежать у шуканій площині, тобто компланарні, тому мішаний добуток цих векторів дорівнює нулю

Перепишемо цю рівність в координатній формі і одержимо рівняння площини за трьома заданими точками:

Нормальне рівняння площини виводиться аналогічно нормальному рівнянню прямої на площині і має вигляд: де - напрямні косинуси вектора нормалі, тобто вектора, опущеного з початку координат перпендикулярно на площину; p – довжина вектора нормалі

Для того, щоб від загального рівняння площини перейти до нормального рівняння, треба обидві сторони останнього домножити на нормуючий множник де знак “+” або “-” обирається протилежним до знака вільного члена D в загальному рівнянні площини.

2. Кут між площинами. Нехай площини та задані своїми загальними рівняннями та відповідно. Кут φ між площинами та визначається кутом між їхніми нормальними векторами і , а саме:

Умови паралельності та перпендикулярності площин. або

Відстань від точки до площини. Наведемо без доведення формулу для обчислення відстані від точки до площини

4. Різновиди рівняння прямої у просторі. Канонічне рівняння прямої в просторі. Нехай відомі точка прямої та її напрямний вектор , а деяка змінна точка цієї прямої. Оскільки то з умови паралельності векторів випливає канонічне рівняння прямої в просторі:

Параметричні рівняння прямої. Якщо позначити через t спільне значення відношень канонічного рівняння прямої, то одержимо параметричні рівняння прямої в просторі, а саме: звідки - параметричні рівняння прямої в просторі, де t – параметр,

Рівняння прямої за двома точками Якщо і точки прямої, то вектор - відомі є напрямним вектором цієї прямої. Підставляючи в канонічне рівняння прямої в просторі замість точку а замість вектора вектор одержимо рівняння прямої за двома точками:

Рівняння прямої як перетин двох площин Якщо пряма є спільною прямою двох площин, то її можна подати у вигляді системи двох рівнянь, які описують ці площини, а саме:

5. Кут між прямими Кут між двома прямими та , заданими канонічними рівняннями та , визначається кутом φ між напрямними векторами цих прямих, а саме: та

Умови паралельності і перпендикулярності

6. Кут між прямою і площиною

Нехай – кут між нормальними векторами вектором прямої і напрямним. Приймаючи до уваги, що виразимо кут через , звідки :

Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини

Знаходження точки перетину прямої і площини Для відшукання точки перетину прямої та площини треба розв’язати систему рівнянь для чого перейдемо від канонічного рівняння прямої до її параметричних рівнянь

Підставивши їх у загальне рівняння площини, знайдемо значення параметра. Отримане значення підставляємо у параметричні рівняння прямої і знаходимо шукану точку